Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função indicada:
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado e hipóteses necessárias para interpretar a questão:
Informações relevantes dadas pelo enunciado e hipóteses necessárias para interpretar a questão:
- A função a integrar é
(uma exponencial com base e expoente ). - Precisamos considerar o caso usual real: a base
é positiva, ou seja . - Há duas sub‑situações importantes a tratar separadamente:
e . - Não foi dada outra condição, então procuramos a primitiva geral (com constante de integração
).
Passo 2
Vamos relembrar uma identidade muito útil que liga potências de base arbitrária com a função exponencial natural:
em geral vale
em geral vale
onde
é o logaritmo natural de
.
Explicando isso: é o número que satisfaz
. Substituindo na potência,
. Essa expressão é válida sempre que
.
Explicando isso:
Passo 3
Agora usamos a regra básica de integração da exponencial. A primitiva de
(com
constante) é
porque, ao derivar
, a derivada é
. Aqui
não pode ser
(se
a função é constante).
Aplicando isso à expressão
, tomamos
(que é constante em
desde que
seja fixo). Assim
Passo 4
Voltando para a base
, substituímos
por
. Portanto a primitiva fica
Aqui
aparece no denominador, por isso é necessário que
, ou seja
. Então essa fórmula vale para
e
.
Passo 5
Verificação (sempre bom checar na prova): derivando a expressão candidata obtemos
E como
(resultado que decorre de
e da regra da cadeia), ficamos com
o que confirma que a primitiva está correta.
Passo 6
Tratamento do caso especial
: se
então
. Nesse caso a integral é simplesmente a primitiva da constante
:
Observação sobre
: para bases não positivas a expressão
não é, em geral, bem definida como função real para todos os
. Normalmente em cálculo elementar consideramos apenas
. Se o enunciado exigir tratar
seria preciso especificar domínio e usar números complexos — mas isso foge ao caso padrão.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
então e
como já sabemos.
- Se
então