Determine a integral de cada função abaixo
int a^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função indicada: \int a^{x}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado e hipóteses necessárias para interpretar a questão:
  • A função a integrar é \;a^{x}\; (uma exponencial com base a e expoente x).
  • Precisamos considerar o caso usual real: a base \;a\; é positiva, ou seja \;a>0.
  • Há duas sub‑situações importantes a tratar separadamente: \;a\neq1 e \;a=1.
  • Não foi dada outra condição, então procuramos a primitiva geral (com constante de integração C).

Passo 2

Vamos relembrar uma identidade muito útil que liga potências de base arbitrária com a função exponencial natural:
em geral vale
a^{x} = e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a.
Explicando isso: \ln a é o número que satisfaz e^{\ln a}=a. Substituindo na potência, a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\ln a}. Essa expressão é válida sempre que \;a>0.

Passo 3

Agora usamos a regra básica de integração da exponencial. A primitiva de e^{k x} (com k constante) é
\int e^{k x}\,dx = \frac{1}{k}\,e^{k x} + C,
porque, ao derivar \frac{1}{k}e^{k x}, a derivada é \frac{1}{k}\cdot k e^{k x}=e^{k x}. Aqui k não pode ser 0 (se k=0 a função é constante).
Aplicando isso à expressão a^{x}=e^{x\ln a}, tomamos k=\ln a (que é constante em x desde que a seja fixo). Assim
\int a^{x}\,dx=\int e^{x\ln a}\,dx = \frac{1}{\ln a}\,e^{x\ln a} + C.

Passo 4

Voltando para a base a, substituímos e^{x\ln a} por a^{x}. Portanto a primitiva fica
\int a^{x}\,dx = \frac{1}{\ln a}\,a^{x} + C.
Aqui \ln a aparece no denominador, por isso é necessário que \ln a\neq0, ou seja \;a\neq1. Então essa fórmula vale para \;a>0 e \;a\neq1.

Passo 5

Verificação (sempre bom checar na prova): derivando a expressão candidata obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{a^{x}}{\ln a}\right) = \frac{1}{\ln a}\cdot \frac{d}{dx}(a^{x}).
E como \frac{d}{dx}(a^{x})=a^{x}\ln a (resultado que decorre de a^{x}=e^{x\ln a} e da regra da cadeia), ficamos com
\frac{1}{\ln a}\cdot a^{x}\ln a = a^{x},
o que confirma que a primitiva está correta.

Passo 6

Tratamento do caso especial \;a=1: se \;a=1 então \;a^{x}=1^{x}=1. Nesse caso a integral é simplesmente a primitiva da constante 1:
\int 1\,dx = x + C.
Observação sobre a\le 0: para bases não positivas a expressão a^{x} não é, em geral, bem definida como função real para todos os x. Normalmente em cálculo elementar consideramos apenas a>0. Se o enunciado exigir tratar a\le0 seria preciso especificar domínio e usar números complexos — mas isso foge ao caso padrão.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se \;a=e então \ln a=1 e
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
como já sabemos.
  • Se \;a=2 então
\int 2^{x}\,dx = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{a^{x}}{\ln a} + C (para a>0,\;a\neq1)
\displaystyle x + C (para a=1)

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