Determine a integral de cada função abaixo
int \csc x \cot x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função \csc x \cot x.
Informações dadas: a função integranda é \csc x \cot x, a variável de integração é x, e queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=\csc x \cot x.
Observação sobre domínio: \csc x está definida quando \sin x \neq 0, isto é, para x \neq k\pi com k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Vamos lembrar e demonstrar uma relação útil: a derivada de \csc x. Isso nos ajuda porque muitas integrais aparecem como derivadas conhecidas (ou vezes -1).
Começamos pela definição \csc x = \dfrac{1}{\sin x}. Para derivar usamos a regra da derivada de 1/u junto com a derivada de \sin x:
\frac{d}{dx}\!\left(\csc x\right) = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{\sin x}\right) = -\frac{\frac{d}{dx}(\sin x)}{(\sin x)^2}.
Sabendo que \dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\csc x\right) = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Agora reescrevemos -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x} usando as funções \csc e \cot:
-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\left(\frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = -\csc x \cot x.
Portanto concluímos a identidade importante
\frac{d}{dx}\!\left(\csc x\right) = -\csc x \cot x.

Passo 3

A identidade do Passo 2 mostra que o integrando aparece como (menos) a derivada de \csc x. Uma forma direta de usar isso é reconhecer que
\csc x \cot x = -\frac{d}{dx}\!\left(\csc x\right).
Outra forma equivalente, mais mecânica e que funciona sempre que aparece um produto do tipo f'(x) vezes uma função de f(x), é fazer a substituição u=\csc x. Calculamos du:
u=\csc x \quad\Rightarrow\quad du=\frac{d}{dx}(\csc x)\,dx = -\csc x \cot x\,dx.
Isolando o diferencial temos
\csc x \cot x\,dx = -du.
Substituindo na integral original:
\int \csc x \cot x\,dx = \int (-du) = -\int du.

Passo 4

A integral de 1 em relação a u é u mais constante. Assim
-\int du = -u + C,
onde C é a constante de integração. Voltando à variável x (lembrando que u=\csc x) obtemos a primitiva:
-\;u + C = -\csc x + C.

Passo 5

Fazemos uma verificação rápida: derivando -\csc x + C temos, usando o Passo 2,
\frac{d}{dx}\!\left(-\csc x + C\right) = -\frac{d}{dx}(\csc x) = -\bigl(-\csc x \cot x\bigr) = \csc x \cot x,
que é exatamente o integrando. Está tudo certo. Lembre-se do domínio: a primitiva vale onde \sin x \neq 0, ou seja x \neq k\pi.

Resposta

-\csc x + C

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