Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
.
Informações dadas: a função integranda é , a variável de integração é
, e queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja uma função
tal que
.
Observação sobre domínio: está definida quando
, isto é, para
com
.
Informações dadas: a função integranda é
Observação sobre domínio:
Passo 2
Vamos lembrar e demonstrar uma relação útil: a derivada de
. Isso nos ajuda porque muitas integrais aparecem como derivadas conhecidas (ou vezes -1).
Começamos pela definição . Para derivar usamos a regra da derivada de
junto com a derivada de
:
Começamos pela definição
Sabendo que
, obtemos
Agora reescrevemos
usando as funções
e
:
Portanto concluímos a identidade importante
Passo 3
A identidade do Passo 2 mostra que o integrando aparece como (menos) a derivada de
. Uma forma direta de usar isso é reconhecer que
Outra forma equivalente, mais mecânica e que funciona sempre que aparece um produto do tipo
vezes uma função de
, é fazer a substituição
. Calculamos
:
Isolando o diferencial temos
Substituindo na integral original:
Passo 4
A integral de
em relação a
é
mais constante. Assim
onde
é a constante de integração. Voltando à variável
(lembrando que
) obtemos a primitiva:
Passo 5
Fazemos uma verificação rápida: derivando
temos, usando o Passo 2,
que é exatamente o integrando. Está tudo certo. Lembre-se do domínio: a primitiva vale onde
, ou seja
.