Determine a integral de cada função abaixo
int \operatorname{sec} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida da função \operatorname{sec} x, ou seja encontrar uma primitiva F(x) tal que
F'(x)=\operatorname{sec} x.
Informação dada: a função a integrar é \operatorname{sec} x. Queremos uma expressão da forma \int \operatorname{sec} x\,dx = \text{(uma função)} + Cçã.

Passo 2

Observação didática e truque usado: não há uma antiderivada óbvia direta para \operatorname{sec} x, mas existe um truque clássico que consiste em multiplicar a integranda por
\dfrac{\operatorname{sec} x + \tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x} — isso é multiplicar por 1, não altera a integral, mas transforma a expressão numa forma que admite substituição simples. Escrevemos:
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \operatorname{sec} x \cdot \frac{\operatorname{sec} x + \tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx.

Passo 3

Fazendo a multiplicação no numerador obtemos:
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x + \tan x)}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\,\tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx.

Passo 4

Agora precisamos ver que o numerador é exatamente a derivada do denominador. Para isso lembramos as derivadas das funções trigonométricas envolvidas e explicamos por que valem:
  • Derivada de \tan x: use \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Derivando por quociente,
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \operatorname{sec}^2 x.
  • Derivada de \operatorname{sec} x: use \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}. Derivando,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)^{-1} = -1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \operatorname{sec} x\,\tan x.

Passo 5

Agora calcule a derivada do denominador \operatorname{sec} x + \tan x:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x + \tan x\bigr) = \operatorname{sec} x\,\tan x + \operatorname{sec}^2 x,
que é exatamente o numerador que apareceu na integral do Passo 3. Logo o integrando é da forma \dfrac{u'}{u}, onde u=\operatorname{sec} x+\tan x.

Passo 6

Façamos a substituição explícita: defina
u = \operatorname{sec} x + \tan x.
Então
du = (\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\,\tan x)\,dx.
Pelo Passo 3 isso significa que
\int \frac{\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\,\tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx = \int \frac{du}{u}.

Passo 7

A integral de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural (com valor absoluto por segurança em primitiva indefinida):
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.

Passo 8

Voltando à variável original x, substituímos u=\operatorname{sec} x+\tan x e obtemos a primitiva procurada:
\int \operatorname{sec} x\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.

Passo 9

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta,
\frac{d}{dx}\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| = \frac{\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\,\tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x} = \operatorname{sec} x,
pois podemos fatorar \operatorname{sec} x no numerador e cancelar com o denominador. Então a primitiva está correta. Força — você tira isso na prova!

Resposta

\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C

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