Determine a integral de cada função abaixo int \operatorname{sec} x d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida da função \operatorname{sec} x, ou seja encontrar uma primitiva F(x) tal que
F'(x)=\operatorname{sec} x.
Informação dada: a função a integrar é \operatorname{sec} x. Queremos uma expressão da forma \int \operatorname{sec} x\,dx = \text{(uma função)} + C.
Passo 2
Observação didática e truque usado: não há uma antiderivada óbvia direta para \operatorname{sec} x, mas existe um truque clássico que consiste em multiplicar a integranda por \dfrac{\operatorname{sec} x + \tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x} — isso é multiplicar por 1, não altera a integral, mas transforma a expressão numa forma que admite substituição simples. Escrevemos:
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \operatorname{sec} x \cdot \frac{\operatorname{sec} x + \tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx.
Passo 3
Fazendo a multiplicação no numerador obtemos:
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x + \tan x)}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\,\tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx.
Passo 4
Agora precisamos ver que o numerador é exatamente a derivada do denominador. Para isso lembramos as derivadas das funções trigonométricas envolvidas e explicamos por que valem:
Derivada de \tan x: use \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Derivando por quociente,
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \operatorname{sec}^2 x.
Derivada de \operatorname{sec} x: use \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}. Derivando,