Determine uma integral que coincide com a área da região que está dentro da curva definida por
e fora da curva definida por
. Não precisa calcular a integral.
“Descobri que quanto mais eu estudo, mais sorte eu pareço ter nas provas,”
“Descobri que quanto mais eu estudo, mais sorte eu pareço ter nas provas,”
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de áreas usando coordenadas polares. A gente precisa encontrar uma integral que represente a área da região que está dentro da curva
e fora da curva
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares, onde a área pode ser calculada com integrais envolvendo funções de
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. Essas são equações de curvas no sistema polar. A curva
é um círculo com raio 1,5 e centro no ponto (1,5, 0) no sistema cartesiano, enquanto
é uma cardioide, que também é uma forma circular mas com uma “dente” característica.
Passo 3
Para encontrar a área entre essas duas curvas, precisamos determinar os pontos onde elas se intersectam. Isso acontece quando
. Resolvendo essa equação:
Isso ocorre para
e
.
Passo 4
Com os limites de integração definidos, vamos montar a integral para a área entre as curvas. A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
onde
é a função maior (neste caso,
) e
é a função menor (
).
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula, a integral fica:
Essa integral representa precisamente a área da região que está dentro da curva
e fora da curva
.