(1, 5) Determine uma integral que coincide com a área da região que está dentro da curva definida por r=3 cos theta e fora da curva definida por r=1+cos theta. Não precisa calcular a integral.
“Descobri que quanto mais eu estudo, mais sorte eu pareço ter nas provas,”

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de áreas usando coordenadas polares. A gente precisa encontrar uma integral que represente a área da região que está dentro da curva r = 3 cos theta e fora da curva r = 1 + cos theta . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares, onde a área pode ser calculada com integrais envolvendo funções de r em termos de theta .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa r = 3 cos theta e r = 1 + cos theta . Essas são equações de curvas no sistema polar. A curva r = 3 cos theta é um círculo com raio 1,5 e centro no ponto (1,5, 0) no sistema cartesiano, enquanto r = 1 + cos theta é uma cardioide, que também é uma forma circular mas com uma “dente” característica.

Passo 3

Para encontrar a área entre essas duas curvas, precisamos determinar os pontos onde elas se intersectam. Isso acontece quando 3 cos theta = 1 + cos theta . Resolvendo essa equação:
3 cos theta = 1 + cos theta 2 cos theta = 1 cos theta = 12
Isso ocorre para theta = pi3 e theta = 5pi3 .

Passo 4

Com os limites de integração definidos, vamos montar a integral para a área entre as curvas. A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Área = 12 integralalpha^beta ( R(theta)^2 - r(theta)^2 ) dtheta Á
onde R(theta) é a função maior (neste caso, 3 cos theta ) e r(theta) é a função menor ( 1 + cos theta ).

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula, a integral fica:
Área = 12 integralpi3^5pi3 ( (3 cos theta)^2 - (1 + cos theta)^2 ) dtheta Á
Essa integral representa precisamente a área da região que está dentro da curva r = 3 cos theta e fora da curva r = 1 + cos theta .

Resposta

Área = 12 integralpi3^5pi3 ( (3 cos theta)^2 - (1 + cos theta)^2 ) dtheta Á

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