Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
(n-1)(n+1)2 n^2+2 n+2

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = (n-1)(n+1)2n^2+2n+2
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, seu limite. Vamos usar conceitos de limites de sequências e análise assintótica.

Passo 2

Para calcular limntoinftyan, reescrevemos a expressão dividindo numerador e denominador por n^2:
an = n^2 - 12n^2 + 2n + 2 = n^2n^2 - 1n^22n^2n^2 + 2nn^2 + 2n^2 = 1 - tfrac1n^22 + tfrac2n + tfrac2n^2

Passo 3

Ao fazermos ntoinfty, os termos tfrac1n e tfrac1n^2 tendem a zero. Logo,
limntoinftyan = 1 - 02 + 0 + 0 = 12
Como esse limite existe e é finito, a sequência converge para tfrac12.

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty(n-1)(n+1)2n^2+2n+2 = 12

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