Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx
que é singular em x=0. O tema aqui são integrais impróprias (tipo p–integral) e cálculo de primitivas.

Passo 2

Como a função diverge em x=0, reescrevemos a integral como limite
\int_{0}^{8} x^{-1/3}\,dx = \lim_{t\to0^+}\int_{t}^{8} x^{-1/3}\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de x^{-1/3}. Usando a regra \int x^{\alpha}\,dx = x^{\alpha+1}/(\alpha+1) para \alpha\neq -1, temos
\int x^{-1/3}\,dx = \frac{x^{(-1/3)+1}}{(-1/3)+1} = \frac{x^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2}\,x^{2/3}.

Passo 4

Substituímos na expressão em forma de limite:
\lim_{t\to0^+}\Bigl[\frac{3}{2}x^{2/3}\Bigr]_{x=t}^{x=8} = \lim_{t\to0^+}\frac{3}{2}\bigl(8^{2/3}-t^{2/3}\bigr) = \frac{3}{2}\bigl(4-0\bigr) =6.
Como esse limite é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é 6.

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