Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(3 x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(3x+1)^{2}}\,dx
e pede determinar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e de integração de funções racionais por substituição linear.

Passo 2

Analisamos o comportamento do integrando para x\to\infty. Como
\frac{1}{(3x+1)^{2}}\sim\frac{1}{9x^{2}}
, que é uma p-integral com p=2>1, concluímos que a integral converge.

Passo 3

Para calcular o valor exato, fazemos a substituição
u=3x+1,\quad du=3\,dx,\quad dx=\frac{du}{3}
, com x=1\implies u=4 e x\to\infty\implies u\to\infty. Assim,
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{(3x+1)^{2}}\,dx =\frac{1}{3}\int_{4}^{\infty}u^{-2}\,du.

Passo 4

Calculamos a integral de u^{-2}$ e aplicamos os limites: \[\frac{1}{3}\int_{4}^{\infty}u^{-2}\,du =\frac{1}{3}\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{4}^{\infty} =\frac{1}{3}\bigl(0-(-\tfrac{1}{4})\bigr) =\frac{1}{12}\].

Resposta

A integral converge e vale \tfrac{1}{12}.

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