Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência e, se convergente, calcular a integral imprópria
.
Este é um caso de integral no infinito do tipo , cujo critério de convergência (p-integral) diz que ela converge se, e somente se,
.
Este é um caso de integral no infinito do tipo
Passo 2
Reescrevemos o integrando em forma de potência de
:
Aqui temos
, e como
, a integral converge por ser uma p-integral com
.
Passo 3
Para calcular o valor, achamos a primitiva de
. Usando
com
, obtemos
Passo 4
Aplicamos o teorema fundamental do cálculo nos limites de
a
:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.