Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{4}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência e, se convergente, calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{4}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}}\,dx.
Este é um caso de integral no infinito do tipo \displaystyle \int_{a}^{\infty} x^{-p}\,dx, cujo critério de convergência (p-integral) diz que ela converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em forma de potência de x:
\frac{1}{x\sqrt{x}} = x^{-1}\,x^{-1/2} = x^{-3/2}.
Aqui temos p = \tfrac{3}{2}, e como \tfrac{3}{2}>1, a integral converge por ser uma p-integral com p>1.

Passo 3

Para calcular o valor, achamos a primitiva de x^{-3/2}. Usando
\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\quad(\alpha\neq -1),
com \alpha = -\tfrac{3}{2}, obtemos
\int x^{-3/2}\,dx = \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2\,x^{-1/2}.

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo nos limites de 4 a \infty:
\lim_{b\to\infty}\Bigl[-2\,x^{-1/2}\Bigr]_{4}^{b} = \lim_{b\to\infty}\bigl(-2\,b^{-1/2}\bigr) \;-\;\bigl(-2\cdot 4^{-1/2}\bigr) = 0 + 2\cdot \frac{1}{2} = 1.

Resposta

A integral converge e seu valor é 1.

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