Uma partícula de massa m=1 desloca-se sobre o eixo 0 x sob a ação da força elástica -x \vec{i} e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por 2 \dot{x} \vec{i}. Determine a posição x=x(t), t \geq 0, da partícula no instante t \mathrm{e} discuta o movimento, supondo
(a) x(0)=1 e \dot{x}(0)=0
(b) x(0)=1 e \dot{x}(0)=-2

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m=1 sujeita a duas forças ao longo do eixo Ox: a força elástica -x\,\vec i e uma força de amortecimento proporcional à velocidade, 2\dot x\,\vec i. Precisamos obter a posição x(t) resolvendo a equação diferencial de segunda ordem e depois aplicar as condições iniciais dos casos (a) e (b). O conteúdo é movimento harmônico amortecido, no caso crítico.

Passo 2

Pela segunda lei de Newton,
m\ddot x = F_{\rm el} + F_{\rm am} = -x - 2\dot x
Como m=1, obtemos a EDO
\ddot x + 2\dot x + x = 0.

Passo 3

Para resolver
\ddot x + 2\dot x + x = 0
montamos a equação característica
r^2 + 2r + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r+1)^2 = 0,
que dá uma raiz dupla r=-1. Logo, a solução geral é
x(t) = (A + Bt)\,e^{-t},
onde A e B serão determinados pelas condições iniciais.

Passo 4

Caso (a): x(0)=1 e \dot x(0)=0.
Da solução x(t)=(A+Bt)e^{-t} temos
x(0)=A=1.
Para \dot x(t), derivando:
\dot x(t)=\bigl(B - (A+Bt)\bigr)\,e^{-t}=(B-A-Bt)\,e^{-t},
de modo que
\dot x(0)=B-A=0\quad\Longrightarrow\quad B=A=1.
Portanto,
x_{(a)}(t) = (1 + t)\,e^{-t}.

Passo 5

Movimento no caso (a): como \dot x(t)=-(t)e^{-t}<0 para todo t>0, x(t) decresce monotonamente de x(0)=1 até 0 sem ultrapassar o equilíbrio. É um amortecimento crítico sem oscilações.

Passo 6

Caso (b): x(0)=1 e \dot x(0)=-2.
Mantendo x(0)=A=1 e usando \dot x(0)=B-A=-2, vem
B-1=-2\quad\Longrightarrow\quad B=-1.
Fica então
x_{(b)}(t) = (1 - t)\,e^{-t}.

Passo 7

Movimento no caso (b):
  • A partícula atinge o equilíbrio x=0 em t=1 e passa para x<0, caracterizando uma ultrapassagem.
  • O mínimo ocorre quando \dot x(t)=0, i.e.\ t=2, onde x(2)=-e^{-2}.
  • Para t>2, \dot x(t)>0 e x(t) cresce monoticamente de -e^{-2} para 0, aproximando-se assintoticamente do equilíbrio sem oscilar novamente.

Resposta

(a) x(t) = (1 + t)\,e^{-t},
movimento crítico monotônico de retorno ao equilíbrio sem ultrapassar.
(b) x(t) = (1 - t)\,e^{-t},
movimento crítico que ultrapassa o equilíbrio em t=1, atinge mínimo em t=2 e retorna monoticamente para zero.

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