Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por
. Determine a posição
, da partícula no instante
discuta o movimento, supondo
(a)
e
(b)
e
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
sujeita a duas forças ao longo do eixo
: a força elástica
e uma força de amortecimento proporcional à velocidade,
. Precisamos obter a posição
resolvendo a equação diferencial de segunda ordem e depois aplicar as condições iniciais dos casos (a) e (b). O conteúdo é movimento harmônico amortecido, no caso crítico.
Passo 2
Pela segunda lei de Newton,
Como
, obtemos a EDO
Passo 3
Para resolver
montamos a equação característica
que dá uma raiz dupla
. Logo, a solução geral é
onde
e
serão determinados pelas condições iniciais.
Passo 4
Caso (a):
e
.
Da solução
temos
Para
, derivando:
de modo que
Portanto,
Passo 5
Movimento no caso (a): como
para todo
,
decresce monotonamente de
até
sem ultrapassar o equilíbrio. É um amortecimento crítico sem oscilações.
Passo 6
Caso (b):
e
.
Mantendo
e usando
, vem
Fica então
Passo 7
Movimento no caso (b):
- A partícula atinge o equilíbrio
em e passa para , caracterizando uma ultrapassagem. - O mínimo ocorre quando
, i.e.\ , onde . - Para
, e cresce monoticamente de para , aproximando-se assintoticamente do equilíbrio sem oscilar novamente.
Resposta
(a)
movimento crítico monotônico de retorno ao equilíbrio sem ultrapassar.
(b)
movimento crítico que ultrapassa o equilíbrio em
, atinge mínimo em
e retorna monoticamente para zero.