3.8 Encontre a equação do plano tangente e da reta normal à superfície pelo ponto .
Passo 1
O exercício pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada em um ponto. O conteúdo envolve gradiente de uma função implícita e equações de planos e retas em 3D.
Passo 2
Definimos a superfície por uma equação implícita , onde
Passo 3
Calculamos o gradiente de , que fornece um vetor normal à superfície:
Passo 4
Derivando componente a componente:
Passo 5
No ponto , temos , então
Passo 6
A equação do plano tangente com normal em é
Bastando expandir, chega-se a
Passo 7
A reta normal é a que passa por na direção de , com parâmetro :
Resposta
Plano tangente: x -2y -3z +4 -pi=0.
Reta normal: x=1+pi + t,;y=1-2t,;z=1-3t.