3.8 Encontre a equação do plano tangente e da reta normal à superfície x-z-4 arctan (y z)=0 pelo ponto (1+pi, 1,1).

Passo 1

O exercício pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada em um ponto. O conteúdo envolve gradiente de uma função implícita e equações de planos e retas em 3D.

Passo 2

Definimos a superfície por uma equação implícita F(x,y,z)=0, onde
F(x,y,z)=x - z - 4arctan(yz)

Passo 3

Calculamos o gradiente de F, que fornece um vetor normal à superfície:
nabla F = l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr)

Passo 4

Derivando componente a componente:
partial Fpartial x=1, partial Fpartial y=-4cdotpartialpartial yl(arctan(yz)r)=-4cdotz1+(yz)^2,
partial Fpartial z=-1 -4cdotpartialpartial zl(arctan(yz)r)=-1 -4cdoty1+(yz)^2

Passo 5

No ponto (x0,y0,z0)=(1+pi,1,1), temos yz=1, então
nabla F(1+pi,1,1)=l(1, -4cdot12, -1 -4cdot12r)=(1,-2,-3)

Passo 6

A equação do plano tangente com normal (1,-2,-3) em (1+pi,1,1) é
1,(x-(1+pi)) -2,(y-1) -3,(z-1)=0
Bastando expandir, chega-se a
x -2y -3z +4 -pi=0

Passo 7

A reta normal é a que passa por (1+pi,1,1) na direção de (1,-2,-3), com parâmetro t:
x=1+pi + t,y=1 -2t,z=1 -3t

Resposta

Plano tangente: x -2y -3z +4 -pi=0.
Reta normal: x=1+pi + t,;y=1-2t,;z=1-3t.

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