Usando a definição de limites, prove que:
lim n infty n2 n-1=12

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência an=n2n-1 converge para tfrac12 quando ntoinfty, usando rigorosamente a definição de limite de sequência (conteúdo: limites de sequências e prova varepsilon\N).

Passo 2

Lembrando a definição: dizer que limntoinftyan=L significa que, para todo varepsilon>0, existe N tal que, para todo n>= N, vale |an-L|.

Passo 3

Vamos calcular a diferença entre an e tfrac12:
|n2n-1-12|=|2n-(2n-1)2(2n-1)|=14n-2

Passo 4

Para n>=1 temos 4n-2>=2n, logo
14n-2<=12n

Passo 5

Dado varepsilon>0, basta escolher N tal que
12N
por exemplo tomando qualquer inteiro N>1/(2varepsilon). Assim, para todo n>= N vale
|n2n-1-12|<=12n<=12N

Passo 6

Isso mostra, pela definição, que antotfrac12.

Resposta

tfrac12

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