Utilizando as substituições indicadas, calcular as seguintes integrais.
integral3^29 (x-2)^2 / 3(x-2)^2 / 3+3 d x, x-2=t^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral3^29 (x-2)^2/3(x-2)^2/3+3,dx
usando a substituição indicada x-2 = t^3. O conteúdo é troca de variável em integrais e posterior simplificação algébrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
x-2 = t^3,
logo
dx = 3t^2,dt
Quando x=3 temos t^3=1implies t=1. Quando x=29 temos t^3=27implies t=3.

Passo 3

Em termos de t o integrando fica
(x-2)^2/3 = (t^3)^2/3 = t^2,
e portanto
(x-2)^2/3(x-2)^2/3+3,dx = t^2t^2+3cdot 3t^2,dt = 3,t^4t^2+3,dt
A integral vira
integral1^3 3,t^4t^2+3,dt

Passo 4

Decompomos por divisão de polinômios:
t^4t^2+3 = t^2 - 3 + 9t^2+3
Logo o integrando é
3,t^4t^2+3 = 3l(t^2 -3 + tfrac9t^2+3r) = 3t^2 -9 + 27t^2+3

Passo 5

Integramos termo a termo:
integrall(3t^2 -9 + tfrac27t^2+3r),dt = integral 3t^2,dt - integral 9,dt + integral 27t^2+3,dt
Calculamos cada parte:
integral 3t^2,dt = t^3, integral 9,dt = 9t, integral 27t^2+3,dt = 27cdot1raiz3arctan!l(traiz3r) = 9raiz3,arctan!l(traiz3r)
Portanto uma primitiva é
F(t) = t^3 - 9t + 9raiz3,arctan!l(traiz3r)

Passo 6

Avaliaremos F(t) de 1 a 3:
F(3) = 3^3 - 9cdot3 + 9raiz3,arctan!l(3raiz3r) = 27 - 27 + 9raiz3,arctan(raiz3) = 9raiz3,pi3 = 3raiz3,pi
F(1) = 1^3 -9cdot1 + 9raiz3,arctan!l(1raiz3r) = 1 -9 + 9raiz3,pi6 = -8 + 3raiz32,pi

Passo 7

Subtraindo,
integral1^3 3,t^4t^2+3,dt = F(3) - F(1) = 3raiz3,pi -l(-8 + tfrac3raiz32,pir) = 8 + 3raiz32,pi

Resposta

8 + 3raiz32,pi

Exercícios relacionados