Determine a integral geral das equações diferenciais de variáveis separadas e separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais que é sobre variáveis separáveis. A gente precisa encontrar a integral geral da equação dada:
Para isso, vamos separar as variáveis
e
e integrar cada lado.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação pra separar as variáveis. A ideia é colocar todas as coisas que têm
de um lado e as que têm
do outro. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. Começando pelo lado esquerdo, precisamos calcular:
Passo 4
Para integrar
, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula é:
Vamos escolher:
-
então -
então
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
Calculando cada parte:
e
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
Podemos reorganizar para deixar tudo de um lado:
Resposta
A integral geral da equação diferencial é: