Determine a integral geral das equações diferenciais de variáveis separadas e separáveis:
x e^x d x+(1+1y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais que é sobre variáveis separáveis. A gente precisa encontrar a integral geral da equação dada:
x e^x dx + (1 + 1y) dy = 0
Para isso, vamos separar as variáveis x e y e integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação pra separar as variáveis. A ideia é colocar todas as coisas que têm x de um lado e as que têm y do outro. Então, temos:
x e^x dx = -(1 + 1y) dy

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. Começando pelo lado esquerdo, precisamos calcular:
integral x e^x dx

Passo 4

Para integrar integral x e^x dx , vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = x então du = dx
  • dv = e^x dx então v = e^x
Aplicando a fórmula:
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
- integral (1 + 1y) dy = - integral 1 , dy - integral 1y dy
Calculando cada parte:
- integral 1 , dy = -y
e
- integral 1y dy = -ln|y|
Então, juntando tudo:
- y - ln|y| + C

Passo 6

Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
x e^x - e^x = - y - ln|y| + C
Podemos reorganizar para deixar tudo de um lado:
x e^x - e^x + y + ln|y| = C

Resposta

A integral geral da equação diferencial é:
x e^x - e^x + y + ln|y| = C

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