Determine a integral geral das equações diferenciais de variáveis separadas e separáveis:
d x1+x^2=d y1+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está em um formato que a gente chama de “variáveis separadas”. A equação que temos é:
dx1+x^2 = dy1+y^2
Aqui, trabalharemos com integrais para encontrar a solução geral dessa equação. Vamos precisar lembrar como integrar funções que têm denominadores de 1 + x^2, que está relacionado à função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar os dois lados da equação separadamente. A ideia é “separar” as variáveis x e y e integrá-las individualmente.
Começando com o lado esquerdo:
integral dx1+x^2
Sabemos que a integral de 11+x^2 em relação a x é a função arco-tangente de x:
integral dx1+x^2 = arctan(x) + C1

Passo 3

Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
integral dy1+y^2
Da mesma forma, a integral de 11+y^2 em relação a y também é a função arco-tangente de y:
integral dy1+y^2 = arctan(y) + C2

Passo 4

Depois de integrar ambos os lados, temos:
arctan(x) + C1 = arctan(y) + C2
Podemos reorganizar essa equação para relacionar y e x. Vamos juntar as constantes C1 e C2 em uma única constante C:
arctan(x) - arctan(y) = C

Passo 5

Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Ela nos mostra a relação entre x e y através da diferença das funções arco-tangente, igual a uma constante C.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
arctan(x) - arctan(y) = C
onde C é uma constante arbitrária.

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