Determine a integral geral das equações diferenciais de variáveis separadas e separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está em um formato que a gente chama de “variáveis separadas”. A equação que temos é:
Aqui, trabalharemos com integrais para encontrar a solução geral dessa equação. Vamos precisar lembrar como integrar funções que têm denominadores de
, que está relacionado à função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar os dois lados da equação separadamente. A ideia é “separar” as variáveis
e
e integrá-las individualmente.
Começando com o lado esquerdo:
Sabemos que a integral de
em relação a
é a função arco-tangente de
:
Passo 3
Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
Da mesma forma, a integral de
em relação a
também é a função arco-tangente de
:
Passo 4
Depois de integrar ambos os lados, temos:
Podemos reorganizar essa equação para relacionar
e
. Vamos juntar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Ela nos mostra a relação entre
e
através da diferença das funções arco-tangente, igual a uma constante
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.