Determine a integral geral das equações diferenciais de variáveis separadas e separáveis:
1-xx^2 d x+1+yy^2 d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que tem variáveis separadas. O conteúdo que vamos usar aqui é a integração de equações diferenciais separáveis. Precisamos separar as partes que envolvem x das que envolvem y e então integrar cada uma delas para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis x e y:
1 - xx^2 , dx = -1 + yy^2 , dy

Passo 3

Agora, vamos simplificar as frações para facilitar a integração. Vamos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
1 - xx^2 = 1x^2 - xx^2 = 1x^2 - 1x
1 + yy^2 = 1y^2 + yy^2 = 1y^2 + 1y

Passo 4

Substituindo de volta na equação separada, temos:
( 1x^2 - 1x ) dx = -( 1y^2 + 1y ) dy

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral ( 1x^2 - 1x ) dx = -integral ( 1y^2 + 1y ) dy

Passo 6

Vamos calcular as integrais passo a passo:
Para o lado esquerdo:
integral 1x^2 , dx = -1x
integral -1x , dx = -ln|x|
Então, o lado esquerdo fica:
-1x - ln|x|
Para o lado direito:
integral 1y^2 , dy = -1y
integral 1y , dy = ln|y|
Então, o lado direito fica:
-( -1y + ln|y| ) = 1y - ln|y|

Passo 7

Juntando tudo, temos:
-1x - ln|x| = 1y - ln|y| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
-1x - ln|x| = 1y - ln|y| + C

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