Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
n!(n+2)!

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar a sequência an=n!(n+2)!, ver se ela converge ou diverge e, se convergir, achar o limite. Isso é um problema de limites de sequências envolvendo fatoriais; vamos usar a propriedade de fatoriais e o comportamento de frações quando o índice cresce.

Passo 2

Observando que (n+2)!= (n+2)(n+1)n!, podemos simplificar o termo geral cancelando n!. Em bloco:
n!(n+2)!=n!(n+2)(n+1)n!=1(n+1)(n+2)

Passo 3

Agora analisamos o limite da expressão simplificada. Como (n+1)(n+2) cresce para infinito quando ntoinfty, a fração 1(n+1)(n+2) tende a zero.

Passo 4

Portanto, a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

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