Faz-se rodar a elipse
torno do eixo dos
. Determinar o volume do sólido de rotação. Faça um esboço do sólido.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma elipse dada pela equação
e queremos girá-la em torno do eixo dos
para formar um sólido. Nosso objetivo é encontrar o volume desse sólido de rotação. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação da elipse para termos uma expressão que nos permita calcular a área de cada “disco” ao girar a elipse em torno do eixo dos
. A equação da elipse é:
Isolando
:
Passo 3
Agora, para encontrar o volume do sólido de rotação, usamos o método dos discos. A ideia é somar o volume de infinitos discos de raio
e espessura
ao longo do eixo
. A fórmula para o volume de cada disco é
. Então, o volume total
é a integral dessa expressão de
a
:
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo
), podemos simplificar a integral de
a
e multiplicar por
:
Passo 4
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Vamos fatorar
fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido de rotação é
.