Faz-se rodar a elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 torno do eixo dos x. Determinar o volume do sólido de rotação. Faça um esboço do sólido.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma elipse dada pela equação x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 e queremos girá-la em torno do eixo dos x para formar um sólido. Nosso objetivo é encontrar o volume desse sólido de rotação. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar y na equação da elipse para termos uma expressão que nos permita calcular a área de cada “disco” ao girar a elipse em torno do eixo dos x. A equação da elipse é:
Isolando y:

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do sólido de rotação, usamos o método dos discos. A ideia é somar o volume de infinitos discos de raio y e espessura ao longo do eixo x. A fórmula para o volume de cada disco é . Então, o volume total V é a integral dessa expressão de a :
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo x), podemos simplificar a integral de 0 a a e multiplicar por :

Passo 4

Substituindo y^2 pela expressão que encontramos:
Vamos fatorar b^2 fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido de rotação é .

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