Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
e, caso ela converja, calcular seu valor. O conteúdo envolvido são integrais impróprias em intervalos infinitos. Para resolver, vamos dividir o domínio em duas partes e usar limites para cada uma.
Passo 2
Observe que
Para
temos
e para
temos
. Assim
Passo 3
Calculemos a parte positiva:
Passo 4
Agora a parte negativa:
Passo 5
Somando as duas contribuições, a integral total é
logo ela converge para
.
Resposta
A integral converge e vale
.