Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a
integral-infty^+infty e^-|x| d x.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral-infty^infty e^-|x|,dx
e, caso ela converja, calcular seu valor. O conteúdo envolvido são integrais impróprias em intervalos infinitos. Para resolver, vamos dividir o domínio em duas partes e usar limites para cada uma.

Passo 2

Observe que
integral-infty^infty e^-|x|,dx =integral-infty^0 e^-|x|,dx+integral0^infty e^-|x|,dx
Para x<=0 temos |x|=-x e para x>=0 temos |x|=x. Assim
integral-infty^0 e^-|x|,dx =integral-infty^0 e^x,dx, integral0^infty e^-|x|,dx =integral0^infty e^-x,dx

Passo 3

Calculemos a parte positiva:
integral0^infty e^-x,dx =limbtoinftyintegral0^b e^-x,dx =limbtoinftyl[-e^-xr]0^b =limbtoinftyl(1-e^-br) =1

Passo 4

Agora a parte negativa:
integral-infty^0 e^x,dx =limato-inftyintegrala^0 e^x,dx =limato-inftyl[e^xr]a^0 =limato-inftyl(1-e^ar) =1

Passo 5

Somando as duas contribuições, a integral total é
1 + 1 = 2,
logo ela converge para 2.

Resposta

A integral converge e vale ,2.

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