Determine a integral \int \frac{5 x^{2}-11 x+5}{(x-1)^{2}(2-x)} d x

Escolha uma opção:

\frac{1}{x-1}-2 \ln |x-1|-3 \ln |x-2|+C
\frac{1}{1-x}+2 \ln |x-1|+3 \ln |x-2|+C
Nenhuma das demais alternativas
\frac{1}{x-1}-2 \ln |x-1|+3 \ln |x-2|+C
\frac{1}{x-1}+2 \ln |x-1|+3 \ln |x-2|+C
\frac{1}{1-x}-2 \ln |x-1|-3 \ln |x-2|+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{5x^{2}-11x+5}{(x-1)^{2}(2-x)}\,dx
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais de uma função racional, seguida de integração termo a termo.

Passo 2

Vamos escrever a fração como soma de termos mais simples:
\frac{5x^{2}-11x+5}{(x-1)^{2}(2-x)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{2-x}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(2-x) obtemos
5x^{2}-11x+5 = A(x-1)(2-x)+B(2-x)+C(x-1)^{2}.
Expandindo cada parcela:
A(x-1)(2-x)=-A x^{2}+3A x-2A, \quad B(2-x)=2B - Bx, \quad C(x-1)^{2}=C x^{2}-2C x+C.
Somando:
(-A+C)x^{2} + (3A - B -2C)x +(-2A +2B +C) =5x^{2}-11x+5.

Passo 3

Igualando coeficientes, temos o sistema
\begin{cases} -A + C = 5,\\\\ 3A - B - 2C = -11,\\\\ -2A +2B + C = 5. \end{cases}
Resolvendo, achamos
A=-2,\quad B=-1,\quad C=3.

Passo 4

Substituindo de volta, o integrando fica
\frac{5x^{2}-11x+5}{(x-1)^{2}(2-x)} =-\frac{2}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{3}{2-x}.
Integramos termo a termo:
\int -\frac{2}{x-1}\,dx=-2\ln|x-1|, \quad \int -\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx =\int -(x-1)^{-2}dx =(x-1)^{-1} =\frac{1}{x-1},
\int \frac{3}{2-x}\,dx =3\int \frac{-1}{x-2}\,dx =-3\ln|x-2|.

Passo 5

Somando tudo:
\int \frac{5x^{2}-11x+5}{(x-1)^{2}(2-x)}\,dx =\frac{1}{x-1}-2\ln|x-1|-3\ln|x-2|+C.
Isso coincide com a primeira alternativa.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{x-1}-2 \ln |x-1|-3 \ln |x-2|+C

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