Exercício 1.13
\int \frac{2 x^{2}-3 x}{\left(x^{2}+1\right)(3 x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional usando frações parciais.

Passo 2

Começamos decompondo em frações parciais:
\frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)} =\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{3x+2}.
Multiplicando por (x^{2}+1)(3x+2) e comparando coeficientes, obtemos o sistema
3A+C=2,\quad 2A+3B=-3,\quad 2B+C=0.

Passo 3

Da terceira equação 2B+C=0 vem C=-2B. Substituindo em
3A-2B=2,\quad 2A+3B=-3
e resolvendo, achamos
B=-1,\quad C=2,\quad A=0.

Passo 4

Assim a decomposição fica
\frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)} =-\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{2}{3x+2}.

Passo 5

Integramos cada termo separadamente:
\int -\frac{1}{x^{2}+1}\,dx=-\arctan x, \qquad \int \frac{2}{3x+2}\,dx=\frac{2}{3}\ln\lvert 3x+2\rvert.
Somando e adicionando a constante C, obtemos
\int \frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)}\,dx =\frac{2}{3}\ln\lvert 3x+2\rvert-\arctan x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\ln\lvert 3x+2\rvert-\arctan x + C

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