Exercício 1.11 Calcule \int \frac{x^{2}+x-2}{3 x^{3}-x^{2}+3 x-1} d x. Dica: ( 3 x-1 ) é um fator de Q(x). -\frac{7}{15} \ln |3 x-1|+\frac{2}{5} \ln \left(x^{2}+1\right)+\frac{3}{5} \operatorname{arctg}(x)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2} + x - 2}{3x^{3} - x^{2} + 3x - 1}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional por decomposição em frações parciais. Vamos fatorar o denominador, decompor a fração e depois integrar cada parcela.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador por agrupamento:
3x^{3} - x^{2} + 3x - 1 = (3x^{3} + 3x) - (x^{2} + 1) = 3x(x^{2} + 1) - 1\,(x^{2} + 1) = (3x - 1)\,(x^{2} + 1).

Passo 3

Procuramos constantes A, B e C tais que
\frac{x^{2} + x - 2}{(3x-1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{3x-1} + \frac{Bx + C}{x^{2}+1}.
Multiplicando por (3x-1)(x^{2}+1), obtemos
x^{2} + x - 2 = A(x^{2} + 1) + (Bx + C)(3x - 1).
Expandindo,
A\,x^{2} + A + 3B\,x^{2} + (3C - B)x - C = (A + 3B)x^{2} + (3C - B)x + (A - C).
Igualando coeficientes a x^{2} + x - 2, surge o sistema
\begin{cases} A + 3B = 1,\\\\ 3C - B = 1,\\\ A - C = -2. \end{cases}
Resolvendo, achamos
B = \tfrac{4}{5},\quad C = \tfrac{3}{5},\quad A = -\tfrac{7}{5}.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int \frac{x^{2} + x - 2}{3x^{3} - x^{2} + 3x - 1}\,dx = \int \Bigl(\frac{A}{3x-1} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 1}\Bigr)\,dx.
Separemos em três integrais:
A \int \frac{dx}{3x-1} + B \int \frac{x\,dx}{x^{2} + 1} + C \int \frac{dx}{x^{2} + 1}.
Sabemos que
\int \frac{dx}{3x-1} = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x-1\rvert, \quad \int \frac{x\,dx}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1), \quad \int \frac{dx}{x^{2} + 1} = \arctan(x).

Passo 5

Multiplicando pelos coeficientes A, B, C e combinando as constantes de integração, obtemos
-\tfrac{7}{5}\cdot\tfrac{1}{3}\ln\lvert 3x-1\rvert + \tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + \tfrac{3}{5}\arctan(x) + C.
Simplificando os fatores,
-\tfrac{7}{15}\ln\lvert 3x-1\rvert + \tfrac{2}{5}\ln(x^{2}+1) + \tfrac{3}{5}\arctan(x) + C.

Resposta

-\tfrac{7}{15}\ln\lvert 3x-1\rvert + \tfrac{2}{5}\ln(x^{2}+1) + \tfrac{3}{5}\arctan(x) + C.

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