Determine a integral de linha de f(x, y, z)=x z^2 ao longo do segmento de reta que une os pontos (0,0,0) e (2,2,1), nesse sentido. R: 6 / 5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo escalar f(x,y,z)=x z² ao longo do segmento de reta orientado de (0,0,0) até (2,2,1), ou seja, queremos integralC f(x,y,z),ds. Para isso vamos usar parametrização da reta e a fórmula ds=|r'(t)|,dt.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(2t,2t,t) com t variando de 0 a 1. Assim em t=0 obtemos (0,0,0) e em t=1 obtemos (2,2,1), conforme desejado.

Passo 3

Calculamos a derivada e seu módulo: r'(t)=(2,2,1), logo |r'(t)|=raiz2^2+2^2+1^2=raiz9=3.

Passo 4

Substituímos na integral: como f(r(t))=x(t),z(t)^2=(2t)cdot t^2=2t^3 e ds=3,dt, temos

Passo 5

Passo 6

Avaliam­­do o integral: 6integral0^1t^3,dt=6l[tfract^44r]0^1=6cdottfrac14=tfrac32

Resposta

tfrac32

Exercícios relacionados