1. Se u(x, y) e v(x, y) são funções com derivadas parciais contínuas até a 2^a ordem e satisfazem às equações ux=vy e uy=-vx, mostre que u e v atendem à equação de Laplace.

2.2 Funções Diferenciáveis

  1. Se z=f(x, y) é dada por: f(x, y)=3 x^2 yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0, prove que:
    (a) A função f é contínua na origem.
    (b) As derivadas parciais fx e fy existem em todo R^2, mas não são contínuas em (0,0).

Passo 1

O primeiro exercício (item 10) pede para mostrar que, se duas funções u(x,y) e v(x,y) de classe C^2 satisfazem às “equações de Cauchy–Riemann” adaptadas,
ux = vy, uy = -,vx,
então elas satisfazem à equação de Laplace:
uxx + uyy = 0, vxx + vyy = 0

Passo 2

Para u derivamos a primeira igualdade em relação a x e a segunda em relação a y. Usando continuidade das segundas derivadas:
partialpartial x(ux) = uxx ;=; partialpartial x(vy) ;=; vyx,
partialpartial y(uy) = uyy ;=; partialpartial y(-,vx) ;=;-,vxy
Somando as duas linhas,
uxx + uyy = vyx - vxy = 0
(pela igualdade das derivadas mistas vyx=vxy). Assim u satisfaz ,uxx+uyy=0.

Passo 3

Para v fazemos procedimento análogo: derivamos ux=vy em y e uy=-vx em x:
partialpartial y(vy) = vyy ;=; partialpartial y(ux) ;=;uxy,
partialpartial x(-,vx) = -,vxx ;=; partialpartial x(uy) ;=;uyx
Somando,
vyy - vxx = uxy + uyx = 2,uxy,
mas também de uxy=uyx segue que uxy=0 após comparar com a soma feita para u. Logo vxx+vyy=0.

Passo 4

O segundo exercício (item
e pede:
(a) continuidade de ;
(b) existência de e em todo e não continuidade delas em .]

Passo 5

(a) Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, para (x,y)neq(0,0) temos
l|f(x,y)r| =3,x^2,|y|x^2+y^2 <= 3,r^2cdot rr^2 =3r
Como rto0 implica 3rto0, segue que f(x,y)to0=f(0,0). Logo f é contínua em (0,0).

Passo 6

(b) Para (x,y)neq(0,0) usamos a regra do quociente:
fx(x,y) =partialpartial xl(tfrac3x^2yx^2+y^2r) =6xy,(x^2+y^2)-3x^2ycdot2x(x^2+y^2)^2 =6,x,y^3(x^2+y^2)^2,
fy(x,y) =partialpartial yl(tfrac3x^2yx^2+y^2r) =3x^2,(x^2+y^2)-3x^2ycdot2y(x^2+y^2)^2 =3,x^2,(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2
Em (0,0) calculamos pela definição de derivada:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0, fy(0,0)=limkto0f(0,k)-0k=0
Portanto ambas existem em todo R^2.

Passo 7

Para ver que fx não é contínua em (0,0), tomemos a reta y=x. Então para xneq0
fx(x,x) =6,x,(x)^3(x^2+x^2)^2 =6x^4(2x^2)^2 =6x^44x^4 =tfrac32
Assim lim(x,x)to(0,0)fx(x,x)=tfrac32neq0=fx(0,0). Logo fx não é contínua em (0,0). De modo análogo, em outras retas como y=kx encontra-se que fy também não tem limite único no ápice, logo não é contínua em (0,0).

Resposta

Para o item 10:
uxx+uyy=0, vxx+vyy=0
Para o item 2.2. 1:
(a) f é contínua em (0,0).
(b) As derivadas parciais fx e fy existem em todo R^2, mas não são contínuas em (0,0).

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