- Se
e
são funções com derivadas parciais contínuas até a
ordem e satisfazem às equações
e
, mostre que
e
atendem à equação de Laplace.
2.2 Funções Diferenciáveis
- Se
é dada por:
se
e
, prove que:
(a) A função
é contínua na origem.
(b) As derivadas parciais
e
existem em todo
, mas não são contínuas em
.
(a) A função
(b) As derivadas parciais
Passo 1
O primeiro exercício (item
) pede para mostrar que, se duas funções
e
de classe
satisfazem às “equações de Cauchy–Riemann” adaptadas,
então elas satisfazem à equação de Laplace:
Passo 2
Para
derivamos a primeira igualdade em relação a
e a segunda em relação a
. Usando continuidade das segundas derivadas:
Somando as duas linhas,
(pela igualdade das derivadas mistas
). Assim
satisfaz
.
Passo 3
Para
fazemos procedimento análogo: derivamos
em
e
em
:
Somando,
mas também de
segue que
após comparar com a soma feita para
. Logo
.
Passo 4
O segundo exercício (item
e pede:
(a) continuidade de ;
(a) continuidade de ;
(b) existência de
e
em todo
e não continuidade delas em
.]
Passo 5
(a) Em coordenadas polares
,
, para
temos
Como
rto0 implica
3rto0 , segue que
f(x,y)to0=f(0,0) . Logo
f é contínua em
(0,0) .
Passo 6
(b) Para
(x,y)neq(0,0) usamos a regra do quociente:
Em
(0,0) calculamos pela definição de derivada:
Portanto ambas existem em todo
R^2 .
Passo 7
Para ver que
fx não é contínua em
(0,0) , tomemos a reta
y=x . Então para
xneq0
Assim
lim(x,x)to(0,0)fx(x,x)=tfrac32neq0=fx(0,0) . Logo
fx não é contínua em
(0,0) . De modo análogo, em outras retas como
y=kx encontra-se que
fy também não tem limite único no ápice, logo não é contínua em
(0,0) .
Resposta
Para o item
10 :
Para o item
2.2 .
1 :
(a)f é contínua em
(0,0) .
(b) As derivadas parciaisfx e
fy existem em todo
R^2 , mas não são contínuas em
(0,0) .
(a)
(b) As derivadas parciais