Determine: integral sen^2 x-cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de integração, como identidades trigonométricas e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral sin^2 x , dx - integral cos^3 x , dx

Passo 3

Vamos começar pela primeira integral: sin^2 x = 1 - cos(2x)2 . Sabemos que pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica de redução de potência:

Passo 4

Substituindo na integral:
integral sin^2 x , dx = integral 1 - cos(2x)2 , dx = 12 integral (1 - cos(2x)) , dx

Passo 5

Integrando termo a termo:
12 ( integral 1 , dx - integral cos(2x) , dx ) = 12 ( x - sin(2x)2 ) + C1

Passo 6

Simplificando:
x2 - sin(2x)4 + C1

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral: integral cos^3 x , dx = integral cos x (1 - sin^2 x) , dx . Podemos reescrever como e usar a identidade :

Passo 8

Fazendo a substituição integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C2 , então :

Passo 9

Voltando para sin x - sin^3 x3 + C2 :

Resposta

Juntando as duas integrais, temos:
integral sin^2 x - cos^3 x , dx = ( x2 - sin(2x)4 ) - ( sin x - sin^3 x3 ) + C
Simplificando:
x2 - sin(2x)4 - sin x + sin^3 x3 + C
Onde é a constante de integração.

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