Determine: integral 4 x+1x^2+4 x-5 d x

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com o cálculo de integrais de funções racionais, onde usamos frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração original usando os fatores encontrados:
4x + 1(x + 5)(x - 1)
Vamos decompor essa fração em frações parciais da forma:
4x + 1(x + 5)(x - 1) = Ax + 5 + Bx - 1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 4x + 1 = A(x - 1) + B(x + 5) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos o lado direito da equação:
4x + 1 = A x - A + B x + 5B
4x + 1 = (A + B)x + (-A + 5B)

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o coeficiente de A + B = 4 :
-A + 5B = 1
Para o termo constante:

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
  1. (A + B) + (-A + 5B) = 4 + 1 \
  2. 6B = 5
Somando as duas equações:
B = 56
A + 56 = 4
A = 4 - 56
Substituindo A = 196 na primeira equação:

Passo 8

Agora que temos 4x + 1(x + 5)(x - 1) = 196x + 5 + 56x - 1 e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 9

Simplificamos as frações:
196(x + 5) + 56(x - 1)

Passo 10

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 196(x + 5) , dx + integral 56(x - 1) , dx
= 196 ln|x + 5| + 56 ln|x - 1| + C

Resposta

integral 4x + 1x^2 + 4x - 5 , dx = 196 ln|x + 5| + 56 ln|x - 1| + C

Exercícios relacionados