A operadora de um transporte solidário tem atualmente 20 pessoas no seu grupo, que sai às 6 horas e leva 1 hora para chegar no trabalho. Ela estima que, para cada 10 minutos de tempo adicionado à hora da partida, 5 pessoas a mais se juntarão ao seu grupo, porém 15 minutos serão adicionados ao tempo de viagem por causa do trânsito. Um número maior de pessoas no grupo significa menos despesa, mas as pessoas do grupo devem estar no trabalho às 8 horas, e assim a ansiedade aumenta se os passageiros ainda estiverem a caminho após as 7 h 30 min . Suponha que a ansiedade é simultaneamente proporcional ao número de pessoas no transporte e ao número de minutos depois das 7 h 30 min que os veículos estiverem ainda na estrada. Expresse a ansiedade
em função do tempo de partida. Esboce o gráfico de
e estime o tempo de partida que resulta na ansiedade máxima.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre um grupo de pessoas que usa transporte solidário para ir ao trabalho. A gente vai trabalhar com funções lineares e proporcionalidade para expressar a ansiedade
em função do tempo de partida. Para isso, vamos precisar definir algumas variáveis e entender como as mudanças no horário de saída afetam o número de pessoas no grupo e o tempo de viagem.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nosso variável principal:
- Seja
o tempo, em minutos, que a partida é atrasada em relação às 6 horas.
Ou seja, se a partida for às 6:10, então
minutos; se for às 6:20,
minutos, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos expressar o número de pessoas
no grupo em função de
:
Sabemos que para cada 10 minutos adicionados à hora de partida, 5 pessoas a mais se juntam ao grupo. Então, a cada aumento de 10 minutos, o número de pessoas aumenta em 5.
Podemos expressar isso como:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o tempo de viagem
em função de
:
Para cada 10 minutos adicionados à partida, 15 minutos são adicionados ao tempo de viagem devido ao trânsito. Então, para cada minuto adicionado, o tempo de viagem aumenta em 1.5 minutos (já que
).
Então:
Passo 5
Agora, vamos determinar a ansiedade
em função de
:
A ansiedade é proporcional ao número de pessoas no transporte e aos minutos após 7h30min que o veículo ainda está na estrada. Primeiro, precisamos encontrar quanto tempo após as 7h30min o veículo chega ao trabalho.
A partida às 6h e uma viagem de 60 minutos leva à chegada às 7h. Com o aumento, a partida é atrasada para
horas e o tempo de viagem fica
minutos.
A chegada será às
horas. Queremos saber quanto isso ultrapassa as 7h30min.
Vamos calcular:
Então, o excedente após 7h30min (que é 7,5 horas) é:
Multiplicando por 60 para converter em minutos:
Agora, a ansiedade
é proporcional a
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão de
:
Passo 7
Para achar o tempo que resulta na ansiedade máxima, precisamos encontrar o valor de
que maximiza a função quadrática
.
Sabemos que uma função quadrática da forma
atinge o seu máximo ou mínimo no vértice, que está em
.
Aqui,
e
:
No entanto, um tempo negativo não faz sentido no contexto, então devemos revisar nossos cálculos.
Passo 8
Parece que houve um erro nos sinais durante os cálculos. Vamos revisar a expressão de
:
Na verdade, o coeficiente de
está correto. Porém, ao calcular o vértice:
Isso indica que a função atinge seu mínimo em
minutos, mas como
representa minutos adicionados,
não pode ser negativo. Portanto, o máximo ocorre nas extremidades do intervalo permitido.
Passo 9
Vamos determinar o intervalo de
. A ansiedade aumenta se os passageiros ainda estiverem a caminho após 7h30min, ou seja,
:
Além disso, todos devem chegar até às 8h:
Então,
está no intervalo
minutos.
Passo 10
Como a função
tem concavidade para cima (coeficiente de
positivo), o máximo ocorrerá no extremo superior do intervalo. Portanto,
minutos.
Resposta
A ansiedade máxima ocorre quando a partida é atrasada em 24 minutos, ou seja, às 6h24min.