Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma da região no primeiro quadrante, limitada pela parábola x^2=8y, pela reta y=2 e pelo eixo y. A densidade de massa por unidade de área varia como a distância à reta y=-1.

Passo 1

Primeiro, resumo do enunciado: temos uma lâmina no primeiro quadrante limitada pela parábola x^2=8y, pela reta y=2 e pelo eixo y. A densidade de massa por unidade de área varia como a distância à reta y=-1, ou seja, rho(x,y)=y+1. Precisamos achar a massa m e o centro de massa (x,y).

Passo 2

Vamos descrever a região D e a densidade:
A região é dada por
0<= y<=2, 0<= x<=raiz8y
A densidade é
rho(x,y)=y+1

Passo 3

Cálculo da massa:
Montamos a integral dupla
m=integral duplaD rho(x,y),dA =integraly=0^2integralx=0^raiz8y(y+1),dx,dy
Integrando em x:
m=integral0^2(y+1)l[ x r]0^raiz8y,dy =integral0^2(y+1)raiz8y,dy =2raiz2integral0^2l(y^3/2+y^1/2r),dy
Calculando a integral:
2raiz2l[tfrac25y^5/2+tfrac23y^3/2r]0^2 =17615

Passo 4

Cálculo do momento em relação ao eixo y (usado para x):
My=integral duplaD x,rho(x,y),dA =integral0^2integral0^raiz8yx(y+1),dx,dy
Integrando em x:
My=integral0^2(y+1)x^22|0^raiz8y,dy =integral0^2(y+1)8y2,dy =4integral0^2(y^2+y),dy =4l[tfrac13y^3+tfrac12y^2r]0^2 =563

Passo 5

Cálculo do momento em relação ao eixo x (usado para y):
Mx=integral duplaD y,rho(x,y),dA =integral0^2integral0^raiz8yy(y+1),dx,dy =integral0^2y(y+1)raiz8y,dy =2raiz2integral0^2l(y^3/2+y^5/2r),dy
Calculando:
2raiz2l[tfrac25y^5/2+tfrac27y^7/2r]0^2 =54435

Passo 6

Finalmente, o centro de massa é dado por
x=Mym=56/3176/15=3522, y=Mxm=544/35176/15=10277

Resposta

m=\dfrac{176}{15},\quad (\overline{x},\overline{y})=\Bigl(\tfrac{35}{22},\tfrac{102}{77}\Bigr)

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