(a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima do retângulo
. Use uma soma de Riemann com
e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo.
(b) Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do sólido da parte (a).
(b) Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do sólido da parte (a).
Passo 1
O enunciado pede estimar o volume do sólido limitado por
acima do retângulo
usando (a) soma de Riemann com
,
e ponto amostral no canto superior direito de cada sub-retângulo; e (b) usando a Regra do Ponto Médio. Vamos tratar cada caso como uma aproximação da integral dupla
Passo 2
Para a soma de Riemann (canto superior direito):
Calculamos os comprimentos dos passos em e
:
Calculamos os comprimentos dos passos em
Os pontos amostrais são
com
e
, ou seja
O elemento de área é
Passo 3
Aproximamos o volume pela soma
Calculando termo a termo:
para temos
;
para temos
.
Somando tudo:
para
para
Somando tudo:
Passo 4
Para a Regra do Ponto Médio:
mantemos ,
e agora escolhemos como amostras os pontos médios de cada sub-retângulo, isto é
mantemos
com
,
. Assim obtemos os
pontos
Passo 5
Aproximamos o volume pela soma dos valores de
nesses pontos vezes
. Calculando:
para e
temos
para
para
e
temos
Somando todos esses valores:
Resposta
(a)
(b)
(b)