(a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z=x^2+4 y e acima do retângulo R=(x, y) mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= 3. Use uma soma de Riemann com m=2, n=3 e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo.
(b) Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do sólido da parte (a).

Passo 1

O enunciado pede estimar o volume do sólido limitado por
z = x^2 + 4y
acima do retângulo
R = (x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<=3
usando (a) soma de Riemann com m=2, n=3 e ponto amostral no canto superior direito de cada sub-retângulo; e (b) usando a Regra do Ponto Médio. Vamos tratar cada caso como uma aproximação da integral dupla
V = integral duplaR(x^2+4y),dx,dy

Passo 2

Para a soma de Riemann (canto superior direito):
Calculamos os comprimentos dos passos em x e y:
De<a x = 2-02 = 1, De<a y = 3-03 = 1
Os pontos amostrais são
(xi,yj) = l(iDe<a x,;jDe<a yr),
com i=1,2 e j=1,2,3, ou seja
(1,1),,(1,2),,(1,3),;(2,1),,(2,2),,(2,3)
O elemento de área é
De<a A = De<a x,De<a y = 1

Passo 3

Aproximamos o volume pela soma
VRR approx sumi=1^2sumj=1^3 l(xi^2 + 4,yjr),De<a A
Calculando termo a termo:
para x1=1 temos
;(1)^2+4,(1)=5,;(1)^2+4,(2)=9,;(1)^2+4,(3)=13;
para x2=2 temos
;(2)^2+4,(1)=8,;(2)^2+4,(2)=12,;(2)^2+4,(3)=16.
Somando tudo:
VRR approx 5+9+13+8+12+16 = 63

Passo 4

Para a Regra do Ponto Médio:
mantemos De<a x=1, De<a y=1 e agora escolhemos como amostras os pontos médios de cada sub-retângulo, isto é
l(xi^*,yj^*r) =l((i-1)De<a x+tfracDe<a x2,;(j-1)De<a y+tfracDe<a y2r),
com i=1,2, j=1,2,3. Assim obtemos os 6 pontos
(0,5,0,5),,(0,5,1,5),,(0,5,2,5),;(1,5,0,5),,(1,5,1,5),,(1,5,2,5)

Passo 5

Aproximamos o volume pela soma dos valores de f(x,y)=x^2+4y nesses pontos vezes De<a A=1. Calculando:
para x^*=0,5 e y^*=0,5,1,5,2,5 temos
0,5^2+4(0,5)=2,25,0,5^2+4(1,5)=6,25,0,5^2+4(2,5)=10,25;
para x^*=1,5 e y^*=0,5,1,5,2,5 temos
1,5^2+4(0,5)=4,25,1,5^2+4(1,5)=8,25,1,5^2+4(2,5)=12,25
Somando todos esses valores:
VPM approx 2,25+6,25+10,25+4,25+8,25+12,25 = 43,5

Resposta

(a) 63
(b) 43,5

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