Use o teste da razão para verificar a convergência ou não:
sum k 3^k(k+1)!

Passo 1

O exercício pede para usar o teste da razão na série
sumk=1^infty k,3^k(k+1)!,
Isso é parte de “séries numéricas” e, em especial, do critério da razão. Para resolver, a gente vai precisar:
  • Definir o termo geral ak.
  • Escrever ak+1.
  • Montar o quociente l|ak+1/akr|.
  • Calcular o limite desse quociente quando ktoinfty.

Passo 2

Primeiro, define o termo geral da série:
ak = k,3^k(k+1)!,
O teste da razão diz: se
L = limktoinfty |ak+1ak|,,
então
  • se L<1, a série converge absolutamente (logo converge);
  • se L>1, diverge;
  • se L=1, o teste não decide.

Passo 3

Agora vamos achar ak+1. Basta substituir k por k+1:
ak+1 = (k+1),3^,k+1((k+1)+1)! = (k+1),3^k+1(k+2)!,

Passo 4

Montamos o quociente dfracak+1ak e simplificamos passo a passo:
ak+1ak = (k+1),3^k+1(k+2)! k,3^k(k+1)! = (k+1),3^k+1(k+2)!;cdot;(k+1)!k,3^k
Agora, separamos fatores:
= k+1k;times;3^,k+1 - k;times;(k+1)!(k+2)! = k+1k;times;3;times;1k+2 = 3,(k+1)k,(k+2)

Passo 5

Falta só o limite quando ktoinfty:
L = limktoinfty3,(k+1)k,(k+2) = 3 ;limktoinftyk+1k^2 + 2k = 3 ;limktoinftyk(1 + 1/k)k^2(1 + 2/k) = 3 ;limktoinfty1 + 1/kk,(1 + 2/k)
Quando ktoinfty, 1/kto0 e 2/kto0, então
1 + 1/kk,(1 + 2/k) ;longrightarrow; 1infty = 0,
logo L = 3 times 0 = 0.

Resposta

Como L = 0 < 1, pelo teste da razão a série
sumk=1^infty k,3^k(k+1)!
converge (absolutamente).

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