Determine inteiros positivos
e
tais que
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são inteiros positivos e fornece duas condições:
- produto:
; - mínimo múltiplo comum:
.
A pergunta é: determinar todos os pares
de inteiros positivos que satisfazem essas duas condições.
Passo 2
Usar uma relação fundamental entre produto, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Para quaisquer inteiros positivos
e
vale a identidade
Explicação rápida dessa identidade (muito útil na prova): escrevendo
e
em fatoração em primos, para cada primo
os expoentes em
e
são, digamos,
e
. O expoente de
em
é
; no
é
e no
é
. Como
, multiplicando
por
obtém-se exatamente
. Isso vale para todo primo, logo vale para os números.
Aplicando a identidade com os valores dados:
Portanto o máximo divisor comum é
Passo 3
Calcular a razão:
Ou seja,
.
Agora escrevemos
e
retirando o fator comum
. Seja
e
os inteiros positivos tais que
Pelo fato de
ser
, os números
e
são coprimos:
Passo 4
Expressar o MMC em termos de
e
. Como
e
são coprimos, o mínimo múltiplo satisfaz
Mas sabemos que
. Logo
Dividindo por
:
Passo 5
Resolver
com
inteiros positivos e coprimos. O número
é primo, então os únicos pares positivos com produto
são
e
. Ambos têm
, então são válidos.
De volta a
e
:
- se
, então ; - se
, então .
Passo 6
Verificação final (rápida): para
tem-se
e
(como 330 é múltiplo de 30 e contém os fatores adicionais), logo satisfaz as condições. O par trocado também satisfaz.