Determine inteiros positivos a e b tais que a b=9900 e[a, b]=330.

Passo 1

O enunciado dá que a e b são inteiros positivos e fornece duas condições:
  • produto: ab=9900;
  • mínimo múltiplo comum: [a,b]=330.
A pergunta é: determinar todos os pares (a,b) de inteiros positivos que satisfazem essas duas condições.

Passo 2

Usar uma relação fundamental entre produto, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Para quaisquer inteiros positivos a e b vale a identidade
ab=\gcd(a,b)\cdot [a,b].
Explicação rápida dessa identidade (muito útil na prova): escrevendo a e b em fatoração em primos, para cada primo p os expoentes em a e b são, digamos, \alpha e \beta. O expoente de p em ab é \alpha+\beta; no \gcd(a,b) é \min(\alpha,\beta) e no [a,b] é \max(\alpha,\beta). Como \min(\alpha,\beta)+\max(\alpha,\beta)=\alpha+\beta, multiplicando \gcd por [a,b] obtém-se exatamente ab. Isso vale para todo primo, logo vale para os números.
Aplicando a identidade com os valores dados:
9900=\gcd(a,b)\cdot 330.
Portanto o máximo divisor comum é
\gcd(a,b)=\frac{9900}{330}.

Passo 3

Calcular a razão:
\gcd(a,b)=\frac{9900}{330}=30.
Ou seja, \gcd(a,b)=30.
Agora escrevemos a e b retirando o fator comum \gcd(a,b). Seja x e y os inteiros positivos tais que
a=30x,\qquad b=30y.
Pelo fato de 30 ser \gcd(a,b), os números x e y são coprimos:
\gcd(x,y)=1.

Passo 4

Expressar o MMC em termos de x e y. Como x e y são coprimos, o mínimo múltiplo satisfaz
[a,b]=30\cdot x\cdot y.
Mas sabemos que [a,b]=330. Logo
30xy=330.
Dividindo por 30:
xy=11.

Passo 5

Resolver xy=11 com x,y inteiros positivos e coprimos. O número 11 é primo, então os únicos pares positivos com produto 11 são (x,y)=(1,11) e (x,y)=(11,1). Ambos têm \gcd(x,y)=1, então são válidos.
De volta a a e b:
  • se (x,y)=(1,11), então (a,b)=(30\cdot1,\,30\cdot11)=(30,330);
  • se (x,y)=(11,1), então (a,b)=(330,30).

Passo 6

Verificação final (rápida): para (a,b)=(30,330) tem-se ab=30\cdot330=9900 e [30,330]=330 (como 330 é múltiplo de 30 e contém os fatores adicionais), logo satisfaz as condições. O par trocado também satisfaz.

Resposta

(a,b)=(30,330)
(a,b)=(330,30)

Exercícios relacionados