Sejam a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{Z}. Mostre que a equação: a_{1} X_{1}+a_{2} X_{2}+\cdots+a_{n} X_{n}=c possui soluções inteiras se, e somente se, \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) \mid c.
Dica: use o resultado da questão 10 .

Passo 1

O enunciado dá os inteiros a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\in\mathbb{Z} e um inteiro c. Pede para mostrar que a equação
a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\cdots+a_{n}X_{n}=c
tem solução inteira (ou seja, existem X_{1},\dots,X_{n}\in\mathbb{Z} satisfazendo a equação) se, e somente se,
\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\mid c.
Informação que vou usar (dada pela dica/questão 10): existe um inteiro
d=\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)
e inteiros y_{1},\dots,y_{n} tais que
a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots+a_{n}y_{n}=d.
Esse d é o máximo divisor comum dos a_i.

Passo 2

Vou provar a implicação "se existe solução então d\mid c" (necessidade).
Suponha que existam inteiros x_{1},\dots,x_{n} tais que
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=c.
Pelo fato de d ser o máximo divisor comum, temos d\mid a_{i} para todo i. Logo existem inteiros k_{i} tais que a_{i}=d k_{i}. Substituindo na soma:
d k_{1}x_{1}+d k_{2}x_{2}+\cdots+d k_{n}x_{n}=c.
Fatorando d obtemos
d\bigl(k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots+k_{n}x_{n}\bigr)=c.
Isto mostra que d divide c. Portanto, se a equação tem solução inteira então \left(a_{1},\dots,a_{n}\right)\mid c.

Passo 3

Agora a implicação oposta: “se d\mid c então existe solução inteira” (suficiência).
Suponha que d\mid c. Então existe um inteiro t tal que
c=d\,t.
Pela informação da questão 10 existe uma identidade de Bézout para os a_i, ou seja, inteiros y_{1},\dots,y_{n} com
a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots+a_{n}y_{n}=d.
Multiplicando ambos os lados por t obtemos
a_{1}(t y_{1})+a_{2}(t y_{2})+\cdots+a_{n}(t y_{n})=d\,t=c.
Como t e os y_{i} são inteiros, os números x_{i}:=t y_{i} são inteiros e formam uma solução da equação original. Logo, quando d\mid c existe solução inteira explícita dada por X_{i}=t y_{i}.

Passo 4

Resumindo os dois sentidos já provados:
  • Se existe solução inteira então d\mid c.
  • Se d\mid c então existe solução inteira (construível a partir da identidade de Bézout).
Portanto a condição é necessária e suficiente.

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar a ideia (para ver como construir a solução na prática):
Considere a_{1}=6, a_{2}=9. Então d=(6,9)=3. Se c=12, temos 3\mid12 e pela identidade de Bézout, por exemplo 6\cdot(-1)+9\cdot1=3. Multiplicando por t=4 (porque 12=3\cdot4) obtemos solução X_{1}=-4, X_{2}=4 pois
6\cdot(-4)+9\cdot4= -24+36=12.
Se tentássemos c=5 veríamos que 3\nmid5 e portanto não há solução inteira.

Passo 6

Comentário final e incentivo: a chave é lembrar da identidade de Bézout (questão 10): o gcd dos a_i é uma combinação linear inteira dos a_i. A partir disso a prova fica curta e construtiva — se d\mid c basta escalar a combinação que dá d para obter c.

Resposta

\text{A equação }a_{1}X_{1}+\cdots+a_{n}X_{n}=c\text{ possui solução inteira se, e somente se }\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)\mid c.çãçã

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