Sejam
. Mostre que a equação:
possui soluções inteiras se, e somente se,
.
Dica: use o resultado da questão 10 .
Dica: use o resultado da questão 10 .
Passo 1
O enunciado dá os inteiros
e um inteiro
. Pede para mostrar que a equação
tem solução inteira (ou seja, existem
satisfazendo a equação) se, e somente se,
Informação que vou usar (dada pela dica/questão 10): existe um inteiro
e inteiros
tais que
Esse
é o máximo divisor comum dos
.
Passo 2
Vou provar a implicação "se existe solução então
" (necessidade).
Suponha que existam inteiros
tais que
Pelo fato de
ser o máximo divisor comum, temos
para todo
. Logo existem inteiros
tais que
. Substituindo na soma:
Fatorando
obtemos
Isto mostra que
divide
. Portanto, se a equação tem solução inteira então
.
Passo 3
Agora a implicação oposta: “se
então existe solução inteira” (suficiência).
Suponha que
. Então existe um inteiro
tal que
Pela informação da questão 10 existe uma identidade de Bézout para os
, ou seja, inteiros
com
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Como
e os
são inteiros, os números
são inteiros e formam uma solução da equação original. Logo, quando
existe solução inteira explícita dada por
.
Passo 4
Resumindo os dois sentidos já provados:
- Se existe solução inteira então
. - Se
então existe solução inteira (construível a partir da identidade de Bézout).
Portanto a condição é necessária e suficiente.
Passo 5
Um exemplo rápido para fixar a ideia (para ver como construir a solução na prática):
Considere
,
. Então
. Se
, temos
e pela identidade de Bézout, por exemplo
. Multiplicando por
(porque
) obtemos solução
,
pois
Se tentássemos
veríamos que
e portanto não há solução inteira.
Passo 6
Comentário final e incentivo: a chave é lembrar da identidade de Bézout (questão 10): o gcd dos
é uma combinação linear inteira dos
. A partir disso a prova fica curta e construtiva — se
basta escalar a combinação que dá
para obter
.