determine whether the set of vectors in boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}} is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}}
\{(2,1),\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n} (aqui n=2):
\left\{v_{1}=(2,1),\; v_{2}=\left(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\right)\right\}.
O que pede:
  1. Determinar se o conjunto é ortogonal.
  2. Se for ortogonal, determinar se é também ortonormal.
  3. Determinar se o conjunto é uma base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Definição e teste prático para ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se o produto interno (produto escalar) entre eles for zero. Em \mathbb{R}^{2} o produto interno de v=(x_1,x_2) e w=(y_1,y_2) é
v\cdot w = x_1y_1 + x_2y_2.
Agora calculamos o produto interno entre v_{1} e v_{2}:
v_{1}\cdot v_{2} = 2\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right) + 1\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right) = \tfrac{2}{3} - \tfrac{2}{3} = 0.
Como o produto interno é 0, concluímos que v_{1} e v_{2} são ortogonais.

Passo 3

Definição de ortonormalidade: um conjunto é ortonormal se for ortogonal e cada vetor tiver norma 1 (isto é, cada vetor for de comprimento unitário). A norma de v=(x_1,x_2) é
\|v\| = \sqrt{x_1^{2}+x_2^{2}}.
Calculamos as normas dos dois vetores:
\|v_{1}\| = \sqrt{2^{2}+1^{2}} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}.
\|v_{2}\| = \sqrt{\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2} + \left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}} = \sqrt{\tfrac{1}{9} + \tfrac{4}{9}} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3}.
Nem \|v_{1}\| nem \|v_{2}\| é igual a 1. Portanto o conjunto não é ortonormal.
Dica prática (útil na prova): para transformar um conjunto ortogonal de vetores não unitários em um conjunto ortonormal basta normalizar cada vetor dividindo pelo seu comprimento. Aqui as versões normalizadas seriam
u_{1}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\qquad u_{2}=\frac{v_{2}}{\|v_{2}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right),
e u_{1},u_{2} formam um conjunto ortonormal.

Passo 4

Definição e teste para ser base em \mathbb{R}^{2}: um conjunto de vetores é base se os vetores forem linearmente independentes e o número de vetores for igual a \dim(\mathbb{R}^{2})=2. Uma propriedade muito útil: vetores ortogonais não nulos são automaticamente linearmente independentes. Mostro isso com um pequeno argumento (fácil de usar na prova):
Suponha que existam escalares a,b tais que
a v_{1} + b v_{2} = 0.
Fazendo produto interno com v_{1} nos dois lados obtemos
a (v_{1}\cdot v_{1}) + b (v_{2}\cdot v_{1}) = 0.
Como v_{2}\cdot v_{1}=0 (já mostramos) isso vira
a \|v_{1}\|^{2} = 0.
Como \|v_{1}\|^{2} > 0 (o vetor não é o vetor zero), segue a=0. Analogamente, fazendo produto interno com v_{2} obtém-se b=0. Logo a única solução é a=b=0, isto é, os vetores são linearmente independentes.
Temos dois vetores independentes em \mathbb{R}^{2}, portanto eles formam uma base de \mathbb{R}^{2}.

Resposta

(a) Sim — o conjunto é ortogonal.
(b) Não — o conjunto não é ortonormal.
(c) Sim — o conjunto é uma base de \mathbb{R}^{2}.

Exercícios relacionados