determine whether the set of vectors in
is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de vetores em
(aqui
):
O que pede:
- Determinar se o conjunto é ortogonal.
- Se for ortogonal, determinar se é também ortonormal.
- Determinar se o conjunto é uma base de
.
Passo 2
Definição e teste prático para ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se o produto interno (produto escalar) entre eles for zero. Em
o produto interno de
e
é
Agora calculamos o produto interno entre
e
:
Como o produto interno é
, concluímos que
e
são ortogonais.
Passo 3
Definição de ortonormalidade: um conjunto é ortonormal se for ortogonal e cada vetor tiver norma
(isto é, cada vetor for de comprimento unitário). A norma de
é
Calculamos as normas dos dois vetores:
Nem
nem
é igual a
. Portanto o conjunto não é ortonormal.
Dica prática (útil na prova): para transformar um conjunto ortogonal de vetores não unitários em um conjunto ortonormal basta normalizar cada vetor dividindo pelo seu comprimento. Aqui as versões normalizadas seriam
e
formam um conjunto ortonormal.
Passo 4
Definição e teste para ser base em
: um conjunto de vetores é base se os vetores forem linearmente independentes e o número de vetores for igual a
. Uma propriedade muito útil: vetores ortogonais não nulos são automaticamente linearmente independentes. Mostro isso com um pequeno argumento (fácil de usar na prova):
Suponha que existam escalares
tais que
Fazendo produto interno com
nos dois lados obtemos
Como
(já mostramos) isso vira
Como
(o vetor não é o vetor zero), segue
. Analogamente, fazendo produto interno com
obtém-se
. Logo a única solução é
, isto é, os vetores são linearmente independentes.
Temos dois vetores independentes em
, portanto eles formam uma base de
.
Resposta
(a) Sim — o conjunto é ortogonal.
(b) Não — o conjunto não é ortonormal.
(c) Sim — o conjunto é uma base de .
(b) Não — o conjunto não é ortonormal.
(c) Sim — o conjunto é uma base de