Determine inteiros positivos a e b tais que a b=9900 e m m c(a, b)=330.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos inteiros positivos a e b tais que a·b=9900 e mmc(a,b)=330. O conteúdo envolvido é a relação entre mdc e mmc de dois números e como usar isso para determinar a divisão em fatores.

Passo 2

Para qualquer par de inteiros positivos vale a identidade
mmc(a,b)cdotmdc(a,b)=a,b
Logo podemos achar o mdc(a,b) por
mdc(a,b)=a,bmmc(a,b)=9900330=30

Passo 3

Como mdc(a,b)=30, escrevemos a=30x e b=30y com mdc(x,y)=1. Substituindo em a·b=9900, temos
30xcdot30y=900,x,y=9900Longrightarrow x,y=11

Passo 4

O produto x·y=11 e mdc(x,y)=1 implica que (x,y) só pode ser (1,11) ou (11,1). Assim a=30·1=30 e b=30·11=330, ou a=30·11=330 e b=30·1=30.

Resposta

(a,b)=(30,330) ou (330,30)

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