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Determine a intensidade de campo magnético em qualquer local como uma função da posição
. (Gabarito:
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Determine a intensidade de campo magnético em qualquer local como uma função da posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou pede para determinar a intensidade do campo magnético $ H $ em função da posição radial $ \rho $ em diferentes regiões de um material com condutividades elétricas específicas. Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente sobre campos magnéticos e correntes elétricas em materiais com diferentes condutividades. Precisaremos entender como aplicar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético em cada região.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as três regiões que precisamos considerar com base nos valores de $ \rho $:
- Para $ 0 < \rho < 3 $ mm: A condutividade é $ \sigma_1 = 1 \times 10^{7} $ S/m.
- Para $ 3 $ mm $ < \rho < 4 $ mm: A condutividade é $ \sigma_2 = 4 \times 10^{7} $ S/m.
- Para $ \rho > 4 $ mm: Vamos considerar que não há mais material condutor, ou seja, o campo magnético será devido à corrente total $ I $.
Passo 3
Vamos começar calculando o campo magnético na primeira região: $ 0 < \rho < 3 $ mm.
Teoria Aplicada: Usamos a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético $ H $ a uma corrente elétrica $ I $. Para uma simetria cilíndrica, a intensidade do campo magnético $ H $ a uma distância $ \rho $ do centro é dada por:
onde $ I_{enc} $ é a corrente elétrica encerrada no círculo de raio $ \rho $.
Cálculo: Na primeira região, a corrente encerrada é proporcional à área e à densidade de corrente $ J $, que é $ \sigma_1 E $, onde $ E $ é o campo elétrico aplicado.
Substituindo na fórmula de $ H $:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda região: $ 3 $ mm $ < \rho < 4 $ mm.
Teoria Aplicada: Aqui, precisamos considerar a corrente total encerrada dentro do raio $ \rho $. Isso inclui a corrente das duas regiões anteriores.
Cálculo: A corrente total $ I_{enc} $ é a soma da corrente na região $ 0 < \rho < 3 $ mm e na região $ 3 $ mm $ < \rho < \rho $.
Simplificando e substituindo na fórmula de $ H $:
Passo 5
Por fim, para $ \rho > 4 $ mm.
Teoria Aplicada: Fora das regiões condutoras, a intensidade do campo magnético depende apenas da corrente total $ I $ que passa pelo condutor.
Cálculo:
Resposta
A intensidade do campo magnético $ H $ em função da posição $ \rho $ é dada por:
Onde $ r_{1} = 3,mm $.