Represente graficamente os seguintes sinais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar graficamente o sinal $ x(t) = A \cdot \operatorname{tri}\left(\frac{t}{T}\right) $. Vamos trabalhar com conceitos de sinais, especificamente a função triangular. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função triangular funciona e como os parâmetros $ A $ e $ T $ afetam o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função triangular, representada por $ \operatorname{tri}(t) $. Essa função tem o formato de um triângulo, simétrico em torno do tempo $ t = 0 $. Ela começa em zero, sobe linearmente até alcançar o pico no meio e depois desce de volta a zero. Matemáticamente, podemos definir a função triangular como:
Isso significa que, para $ |t| \leq 1 $, a função forma um triângulo com altura máxima de 1 no centro.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que temos no exercício: $ x(t) = A \cdot \operatorname{tri}\left(\frac{t}{T}\right) $. Aqui, temos dois componentes importantes:
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Escala Temporal ($ T $): O termo $ \frac{t}{T} $ dentro da função triangular significa que estamos ajustando a largura do triângulo. Se $ T $ é maior que 1, o triângulo se alarga; se $ T $ é menor que 1, ele se comprime.
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Escala de Amplitude ($ A $): O fator $ A $ multiplicando a função triangular altera a altura do triângulo. Se $ A $ é maior que 1, o triângulo fica mais alto; se $ A $ é menor que 1, ele fica mais baixo.
Passo 4
Vamos identificar os pontos chave para desenhar o gráfico:
- Pico do Triângulo: O pico ocorre em $ t = 0 $ e tem altura $ A $.
- Base do Triângulo: A função triangular é não zero para $ |t/T| \leq 1 $, ou seja, para $ |t| \leq T $. Assim, o triângulo começa em $ t = -T $, sobe até $ t = 0 $, e desce até $ t = T $.
- Valores em Pontos Intermediários: Entre $ -T $ e $ 0 $, a amplitude aumenta linearmente de 0 até $ A $; entre $ 0 $ e $ T $, ela diminui linearmente de $ A $ até 0.
Passo 5
Com base nessas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Início: Em $ t = -T $, $ x(t) = 0 $.
- Subida: De $ t = -T $ a $ t = 0 $, o valor de $ x(t) $ aumenta linearmente de 0 a $ A $.
- Pico: Em $ t = 0 $, $ x(t) = A $.
- Descida: De $ t = 0 $ a $ t = T $, o valor de $ x(t) $ diminui linearmente de $ A $ até 0.
- Fim: Para $ |t| > T $, $ x(t) = 0 $.
Resposta
O gráfico de $ x(t) = A \cdot \operatorname{tri}\left(\frac{t}{T}\right) $ é um triângulo simétrico em torno de $ t = 0 $, com o pico no ponto $ (0, A) $ e base se estendendo de $ t = -T $ a $ t = T $. A amplitude máxima é $ A $ e a largura total do triângulo é $ 2T $.