a) Determine o intercepto y da reta no espaço 2-D que está representada pela equação vetorial r=(3+2 t) i+5 t j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intercepto y da reta no plano 2-D que está representada pela equação vetorial r = (3 + 2t)i + 5tj. Isso envolve trabalhar com vetores e entender como eles descrevem uma reta no espaço bidimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação vetorial. Ela está dizendo que qualquer ponto na reta pode ser obtido variando o parâmetro t . Especificamente:
x = 3 + 2t
y = 5t
Aqui, x e y são as coordenadas de qualquer ponto na reta para um valor específico de t .

Passo 3

O intercepto y é o ponto onde a reta cruza o eixo y . Nesse ponto, a coordenada x é igual a zero. Então, vamos encontrar o valor de t que faz x = 0 .

Passo 4

Vamos igualar x a zero e resolver para t :
0 = 3 + 2t
Subtraindo 3 de ambos os lados:
-3 = 2t
Dividindo ambos os lados por 2:
t = -32

Passo 5

Agora que temos o valor de t , vamos substituir de volta na equação de y para encontrar o intercepto y :
y = 5t = 5 (-32) = -152

Resposta

O intercepto y da reta é -152.

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