(7) Dê exemplos de funções f e g tais que:
lim x 0 f(x)=+infty, lim x 0 g(x)=infty e lim x 0(f(x)-g(x))=1

Passo 1

O enunciado pede exemplos de funções f e g tais que
limxto0f(x)=+infty,
limxto0g(x)=+infty
e
limxto0l(f(x)-g(x)r)=1.
O conteúdo aqui é manipular limites que divergem para o infinito e aproveitar que, se duas funções têm o mesmo termo dominante e diferem por uma constante, essa diferença tende a essa constante.

Passo 2

Para satisfazer limxto0f(x)=+infty e limxto0g(x)=+infty, basta escolher uma função h(x)to+infty quando xto0 (por exemplo, h(x)=1/x^2) e então definir
g(x)=h(x), f(x)=h(x)+1
Assim, o termo dominante de ambas é h(x) (que diverge) e a diferença é exatamente 1.

Passo 3

Escolhendo
g(x)=1x^2, f(x)=1x^2+1,
temos, quando xto0,
1x^2to+infty ;;Longrightarrow;; limxto0g(x)=+infty e limxto0f(x)=+infty
Além disso, para todo xneq0,
f(x)-g(x) =l(tfrac1x^2+1r)-tfrac1x^2 =1,
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limxto0(f(x)-g(x))=1.

Resposta

f(x)=1x^2+1, g(x)=1x^2

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