1. Determine o interior e o fecho de cada conjunto abaixo:
(c) (-3,4]-[-1,1)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = (-3,4] - [-1,1).
O que pede: determinar o interior de S e o fecho (fechamento) de S.
Informações relevantes do enunciado:
  • O conjunto inicial é (-3,4].
  • Está sendo subtraído o conjunto [-1,1).
  • Em topologia padrão de \mathbb{R} (com a métrica usual), interior e fecho têm as definições usuais (vejo isso nos próximos passos).

Passo 2

Interpretar a operação de diferença: A - B é o conjunto dos pontos que estão em A e não estão em B.
Aplicando isso ao caso:
S = \{x\in(-3,4] \mid x\notin [-1,1)\}.
Vamos separar os pontos de (-3,4] em três subintervalos relativos a [-1,1):
  • pontos menores que -1,
  • pontos entre -1 e 1,
  • pontos maiores ou iguais a 1.
Os pontos na faixa [-1,1) são removidos. Assim, ao remover [-1,1) de (-3,4] sobra:
S = (-3,-1)\\ \cup\\ [1,4].
Explicando rapidamente: o lado esquerdo é (-3,-1) porque -3 não pertence a (-3,4] e -1 pertence a [-1,1) (logo foi removido); o lado direito é [1,4] porque 1 não pertence a [-1,1) (já que este intervalor é fechado em -1 e aberto em 1), e 4 pertence a (-3,4].

Passo 3

Recordando a definição de interior (vou explicar de forma prática):
  • Um ponto x pertence ao interior de S se existe um pequeno intervalo aberto centrado em x que está totalmente contido em S. Em símbolos: x\in\operatorname{int}(S) se existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset S.
Vamos analisar cada parte de S:
  • Para (-3,-1): este é um intervalo aberto. Todo ponto x\in(-3,-1) tem um pequeno intervalo centrado nele que ainda fica dentro de (-3,-1), logo dentro de S. Portanto (-3,-1)\subset \operatorname{int}(S).
  • Para [1,4]: pontos estritamente entre 1 e 4, isto é x\in(1,4), têm um pequeno intervalo centrado em x contido em [1,4]\subset S, então (1,4)\subset \operatorname{int}(S). Porém os extremos precisam de verificação: 1 e 4.

Passo 4

Verificar se 1 pertence ao interior de S:
  • Qualquer intervalo aberto centrado em 1 tem pontos da forma 1-\delta com \delta>0 suficientemente pequeno. Esses pontos 1-\delta são menores que 1 e maiores que -1 quando \delta é pequeno, portanto pertencem a [-1,1), que foi removido. Assim qualquer vizinhança de 1 contém pontos que NÃO estão em S. Logo 1\notin\operatorname{int}(S).
Verificar se 4 pertence ao interior de S:
  • Qualquer intervalo aberto centrado em 4 contém pontos da forma 4+\delta com \delta>0. Esses pontos não pertencem a (-3,4], logo não pertencem a S. Portanto 4\notin\operatorname{int}(S).
Concluindo sobre o interior:
\operatorname{int}(S) = (-3,-1)\\ \cup\\ (1,4).

Passo 5

Recordando a definição de fecho (fechamento):
  • O fecho de S, denotado \overline{S} ou \operatorname{cl}(S), é o menor conjunto fechado que contém S. Equivalente: é o conjunto de todos os pontos x tais que toda vizinhança de x intersecta S (ou seja, pontos de S mais todos os seus pontos de acumulação).
Vamos encontrar os pontos-limite das duas componentes de S:
  • A componente (-3,-1) tem fecho [-3,-1]: ambos extremos -3 e -1 são pontos de acumulação (por exemplo, há pontos de (-3,-1) arbitrariamente próximos a -1 vindo da esquerda, e próximos a -3 vindo da direita).
  • A componente [1,4] já é um conjunto fechado em \mathbb{R} (é intervalo fechado), logo seu fecho é [1,4].
Agora a união das duas closures é
\operatorname{cl}(S)= [-3,-1]\\ \cup\\ [1,4].

Passo 6

Verificações finais ponto a ponto (resumo rápido):
  • -3: não está em S mas toda vizinhança de -3 contém pontos de (-3,-1), então -3\in\operatorname{cl}(S).
  • -1: não está em S (foi removido) mas é limite da parte (-3,-1), então -1\in\operatorname{cl}(S).
  • 1: está em S (pois não foi removido) e toda vizinhança de 1 contém pontos de [1,4], logo 1\in\operatorname{cl}(S).
  • 4: está em S e é limite por à direita (qualquer vizinhança de 4 intersecta [1,4]), então 4\in\operatorname{cl}(S).
Tudo consistente com
\operatorname{int}(S)=(-3,-1)\cup(1,4),\qquad \operatorname{cl}(S)=[-3,-1]\cup[1,4].

Resposta

\operatorname{int}\big((-3,4]-[-1,1)\big)=(-3,-1)\cup(1,4)
\operatorname{cl}\big((-3,4]-[-1,1)\big)=[-3,-1]\cup[1,4]

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