Questão 10(L5-20 b): Determinar os inteiros positivos a e b sabendo que:
(b) m d c(a, b)=8 e o m m c(a, b)=560

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os inteiros positivos a e b tais que
mdc(a,b)=8 e mmc(a,b)=560.
O conteúdo que precisamos é a relação entre produto, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum.

Passo 2

A propriedade principal é
acdot b = mdc(a,b);cdot;mmc(a,b)
Como mdc(a,b)=8 e mmc(a,b)=560, segue que
acdot b = 8 times 560 = 4480

Passo 3

Para explorar a informação de mdc(a,b)=8, escrevemos
a = 8x, b = 8y,
onde x e y são inteiros positivos e mdc(x,y)=1.

Passo 4

Substituindo em acdot b=4480 temos
(8x)cdot(8y)=4480 Longrightarrow 64,xy = 4480 Longrightarrow xy = 70

Passo 5

Agora achamos todos os pares de inteiros positivos (x,y) com xy=70 e mdc(x,y)=1.
Os divisores de 70 são os pares
(1,70),;(2,35),;(5,14),;(7,10)
e em cada caso mdc(x,y)=1.

Passo 6

Voltando a (a,b)=(8x,8y), obtemos os pares
(8cdot1,,8cdot70) = (8,560), (8cdot2,,8cdot35) = (16,280),
(8cdot5,,8cdot14) = (40,112), (8cdot7,,8cdot10) = (56,80),
e também as permutações onde se invertem a e b.

Resposta

Os inteiros positivos (a,b) que satisfazem
mdc(a,b)=8 e mmc(a,b)=560 são, à ordem:
(8,560),;(16,280),;(40,112),;(56,80)
e suas trocas de lugar.

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