Determine a interseção do plano 2 x-2 z-y=10 com a superfície quádrica 2 z=x^29+y^24.

Passo 1

O enunciado pede a interseção do plano
;2x - 2z - y = 10
com a superfície quádica
;2z = dfracx^29 + dfracy^24.
Para resolver, vamos isolar 2z no plano, substituir na quádica e depois usar completamento de quadrados para identificar a curva resultante em x e y.

Passo 2

Isolando 2z na equação do plano, obtemos
2z = 2x - y - 10

Passo 3

Substituímos essa expressão em
;2z = dfracx^29 + dfracy^24,
ficando
x^29 + y^24 ;=; 2x - y - 10
Reorganizando em forma geral de cônica:
x^29 + y^24 ;-;2x + y + 10 ;=; 0

Passo 4

Para eliminar denominadores, multiplicamos ambos os lados por 36:
4x^2 + 9y^2 - 72x + 36y + 360 = 0

Passo 5

Agora completamos quadrados. Escrevemos
4(x^2 - 18x) ;+; 9(y^2 + 4y) ;+; 360 = 0
e completamos cada um:
4l((x - 9)^2 - 81r) ;+; 9l((y + 2)^2 - 4r) ;+; 360 =0
Isso leva a
4(x - 9)^2 + 9(y + 2)^2 = 0
Como soma de quadrados só é zero se cada termo for zero, temos
;x - 9 = 0; e ;y + 2 = 0,
logo
;x = 9, ;y = -2.

Passo 6

Para achar z, voltamos a
;2z = 2x - y - 10:
2z = 2cdot 9 - (-2) - 10 = 18 + 2 - 10 = 10,
portanto
;z = 5.

Resposta

A interseção entre o plano e a superfície é o ponto (9, -2, 5) .

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