Se A=[rrr0 & 1 & 0 -1 & 0 & -4 1 & 0 & 2] for inversível, calcule a sua inversa. Determine as matrizes elementares E1, E2, ldots, Ek cujo produto Ek cdots E2 E1 A é a matriz identidade.

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a inversa da matriz A e encontrar as matrizes elementares E1, E2, ldots, Ek que, quando multiplicadas pela matriz A , dão a matriz identidade. Vamos usar conceitos de matrizes inversas e operações elementares para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a inversa de A , vamos montar uma matriz aumentada com A do lado esquerdo e a matriz identidade I do lado direito:
[ccc|ccc 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & -4 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 ]
Nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada em I usando operações elementares de linha. As mesmas operações serão aplicadas na parte direita, nos ajudando a encontrar A^-1 .

Passo 3

Vamos começar igualando o primeiro elemento da primeira linha a 1. Mas olhando a primeira posição da primeira linha, vemos que é 0, então precisamos trocar a primeira linha com uma outra que tenha um 1 ou algum elemento diferente de zero nessa posição.
Vamos trocar a primeira linha com a terceira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 -1 & 0 & -4 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 ]

Passo 4

Agora, queremos deixar todos os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna como 0. Para isso, vamos adicionar a primeira linha à segunda linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & -2 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 ]

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1. Porém, atualmente está 0. Então, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 0 & 1 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Olhando para a primeira linha, o elemento na segunda coluna já é 0, então não precisamos fazer nada. Já a terceira linha, o elemento na segunda coluna é 0 também. Vamos então focar na terceira coluna.
Primeiro, queremos que o elemento da terceira linha e terceira coluna seja 1. Como está -2, vamos multiplicar a terceira linha por -1/2:
[ccc|ccc 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -12 & -12 ]

Passo 7

Por último, vamos eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Na primeira linha, temos 2. Vamos subtrair 2 vezes a terceira linha da primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -12 & -12 ]
Agora, a parte da esquerda é a matriz identidade, então a parte da direita é a inversa de A .

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = 0 & 1 & 2 1 & 0 & 0 0 & -12 & -12
As matrizes elementares utilizadas para transformar A na identidade são:
E1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 , E2 = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , E3 = 1 & 0 & -2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -12
O produto dessas matrizes elementares, na ordem E4 E3 E2 E1 , aplicado à matriz A , resulta na matriz identidade.

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