Se for inversível, calcule a sua inversa. Determine as matrizes elementares E1, E2, ldots, Ek cujo produto Ek cdots E2 E1 A é a matriz identidade.
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a inversa da matriz A e encontrar as matrizes elementares E1, E2, ldots, Ek que, quando multiplicadas pela matriz A , dão a matriz identidade. Vamos usar conceitos de matrizes inversas e operações elementares para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a inversa de A , vamos montar uma matriz aumentada com A do lado esquerdo e a matriz identidade I do lado direito:
Nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada em I usando operações elementares de linha. As mesmas operações serão aplicadas na parte direita, nos ajudando a encontrar A^-1 .
Passo 3
Vamos começar igualando o primeiro elemento da primeira linha a 1. Mas olhando a primeira posição da primeira linha, vemos que é 0, então precisamos trocar a primeira linha com uma outra que tenha um 1 ou algum elemento diferente de zero nessa posição.
Vamos trocar a primeira linha com a terceira linha:
Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1. Porém, atualmente está 0. Então, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha:
Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Olhando para a primeira linha, o elemento na segunda coluna já é 0, então não precisamos fazer nada. Já a terceira linha, o elemento na segunda coluna é 0 também. Vamos então focar na terceira coluna.
Primeiro, queremos que o elemento da terceira linha e terceira coluna seja 1. Como está -2, vamos multiplicar a terceira linha por -1/2:
Por último, vamos eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Na primeira linha, temos 2. Vamos subtrair 2 vezes a terceira linha da primeira linha: