Sabendo que
beta & =(ll 1 & 1 0 & 0 ),(ll 1 & 0 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 ) e beta^prime & =(ll 1 & 0 1 & 0 ),(cc 0 & -1 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 )
são bases de U=(ccx & y z & t) in M2(R) ; x-y-z=0.
Determine uma base C de U, tal que a matriz de mudança da base C para beta seja
(lll 1 & 1 & 1 2 & 3 & 5 3 & 4 & 7 )

Passo 1

O espaço é formado por matrizes que satisfazem . As bases dadas são
e
Queremos achar uma base de tal que a matriz de mudança de base de para seja
Lembrando que as colunas de são as coordenadas de na base .

Passo 2

Seja P=(pij). A definição de matriz de mudança de C para beta diz que a j-ésima coluna de P são as coordenadas de cj em beta. Ou seja,
cj = p1j,b1 + p2j,b2 + p3j,b3

Passo 3

Identificando os coeficientes de cada coluna de P:
  • Para c1 a coluna é 123, logo
c1 = 1cdot b1 + 2cdot b2 + 3cdot b3
  • Para c2 a coluna é 134, logo
c2 = 1cdot b1 + 3cdot b2 + 4cdot b3
  • Para c3 a coluna é 157, logo
c3 = 1cdot b1 + 5cdot b2 + 7cdot b3

Passo 4

Agora somamos as matrizes:
c1 = 1&10&0 +21&01&0 +30&00&1 = 3&12&3,
c2 = 1&10&0 +31&01&0 +40&00&1 = 4&13&4,
c3 = 1&10&0 +51&01&0 +70&00&1 = 6&15&7

Resposta

Uma base C de U com a mudança de base desejada é
C= 3&12&3, 4&13&4, 6&15&7

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