Determine a interseção do plano pi com a superfície quádrica S. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
S: 4(x+2)^2+4(y-3)^2+9 z^2-2=0, pi: z+13=0.

Passo 1

O enunciado pede a interseção do plano
pi: z + tfrac13 = 0
com a superfície quádricas
S: 4(x+2)^2 + 4(y-3)^2 + 9z^2 - 2 = 0
Para isso, primeiro identificamos que S é um elipsóide em forma padrão (centro em (-2,3,0)) e depois substituiremos a equação de pi em S.

Passo 2

Colocamos S em forma canônica. Reescrevendo
4(x+2)^2 + 4(y-3)^2 + 9z^2 = 2
e dividindo ambos os lados por 2, obtemos
(x+2)^2tfrac12 ;+;(y-3)^2tfrac12 ;+;z^2tfrac29 ;=;1
Logo, S é um elipsóide com centro em (-2,3,0) e semieixos
raiztfrac12, raiztfrac12 e raiztfrac29.

Passo 3

A interseção exige substituir na equação de S o valor de z dado por pi. Da reta pi vem
z = -tfrac13
Substituindo em S:
4(x+2)^2 ;+;4(y-3)^2 ;+;9l(-tfrac13r)^2 ;-;2 = 0
4(x+2)^2 + 4(y-3)^2 + 9cdottfrac19 -2 = 0
4(x+2)^2 + 4(y-3)^2 -1 = 0

Passo 4

Isolando os termos de x e y:
4(x+2)^2 + 4(y-3)^2 = 1 Longrightarrow (x+2)^2 + (y-3)^2 = tfrac14
Isso é a equação de um círculo de centro em (-2,3) no plano z=-tfrac13 e raio tfrac12.

Resposta

A interseção
Elementos do círculo:
– Centro .
Não há focos nem assíntotas (é um círculo).

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