Determine a interseção do plano pi com a superfície quádrica S. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
S: x^2-y^2-2 z^2=2, pi: y+2=1.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre a superfície quádru-rica
S: x^2-y^2-2z^2=2
e o plano
pi: y+2=1,
isto é, queremos o traço de S em pi. O conteúdo envolvido é classificação de curvas cônicas obtidas por secção de quádricas, e precisaremos reescrever a equação resultante em forma padrão de hipérbole para identificar centro, semieixos (raios), vértices, focos e assíntotas.

Passo 2

Do plano pi tiramos
y+2=1Longrightarrow y=-1
Substituindo y=-1 em S obtemos
x^2-(-1)^2-2z^2=2 Longrightarrow x^2-1-2z^2=2 Longrightarrow x^2-2z^2=3

Passo 3

Para pôr em forma padrão de hipérbole no plano (x,z) fixo em y=-1, escrevemos
x^23-z^2tfrac32=1
Aqui reconhecemos uma hipérbole com
a^2=3, b^2=tfrac32

Passo 4

O centro da hipérbole é o ponto em que se anulam as coordenadas na forma padrão, ou seja
l(0,,-1,,0r)
Os semieixos (ou “raios”) são
a=raiz3, b=raiztfrac32

Passo 5

Os vértices ficam deslocados ao longo do eixo x (direção do termo positivo) a uma distância a do centro, isto é
(pmraiz3,,-1,,0)

Passo 6

Para encontrar os focos usamos
c^2=a^2+b^2=3+tfrac32=tfrac92, c=tfrac3raiz2
Logo os focos são
l(pmtfrac3raiz2,,-1,,0r)

Passo 7

As assíntotas da hipérbole x^2-2z^2=3 vêm de
x^2-2z^2=0 Longrightarrow x=pmraiz2,z Long<=ftrightarrow z=pmtfracxraiz2,
sempre em y=-1.

Resposta

A interseção picap S é a hipérbole
x^23-z^2tfrac32=1 em y=-1
Centro: (0,-1,0)
Semieixo real: a=raiz3
Semieixo imaginário: b=raiztfrac32
Vértices: l(pmraiz3,-1,0r)
Focos: l(pmtfrac3raiz2,-1,0r)
Assíntotas: z=pmtfracxraiz2 (com y=-1).

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