Determine a interseção do plano
com a superfície quádrica
. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
.
Passo 1
O enunciado pede a curva de interseção entre a superfície quádru-rica
e o plano
isto é, queremos o traço de
em
. O conteúdo envolvido é classificação de curvas cônicas obtidas por secção de quádricas, e precisaremos reescrever a equação resultante em forma padrão de hipérbole para identificar centro, semieixos (raios), vértices, focos e assíntotas.
Passo 2
Do plano
tiramos
Substituindo
em
obtemos
Passo 3
Para pôr em forma padrão de hipérbole no plano
fixo em
, escrevemos
Aqui reconhecemos uma hipérbole com
Passo 4
O centro da hipérbole é o ponto em que se anulam as coordenadas na forma padrão, ou seja
Os semieixos (ou “raios”) são
Passo 5
Os vértices ficam deslocados ao longo do eixo
(direção do termo positivo) a uma distância
do centro, isto é
Passo 6
Para encontrar os focos usamos
Logo os focos são
Passo 7
As assíntotas da hipérbole
vêm de
sempre em
.
Resposta
A interseção
é a hipérbole
Centro:
Semieixo real:
Semieixo imaginário:
Vértices:
Focos:
Assíntotas: (com
).
Semieixo real:
Semieixo imaginário:
Vértices:
Focos:
Assíntotas: