Determine a interseção do plano pi com a superfície quádrica S. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
S: (x-1)^264+y^2100+(z-2)^24=1, pi: y-5=0.

Passo 1

O enunciado pede a interseção da superfície quádric-a
S:(x-1)^264+y^2100+(z-2)^24=1
com o plano
pi: y-5=0Longrightarrow y=5
Aqui S é um elipsoide de semi-eixos 8 (eixo x), 10 (eixo y) e 2 (eixo z). A interseção de um elipsoide com um plano não-tangent-eiro geralmente é uma elipse. Vamos achar sua equação e identificar centro, semi-eixos, focos, vértices e assíntotas.

Passo 2

Substituindo y=5 na equação de S, obtemos
(x-1)^264+5^2100+(z-2)^24=1 Longrightarrow (x-1)^264+25100+(z-2)^24=1
Ou seja,
(x-1)^264+(z-2)^24=1-25100=1-tfrac14=tfrac34

Passo 3

Para pôr em forma canônica de elipse, dividimos ambos os lados por tfrac34:
(x-1)^264tfrac34 +(z-2)^24tfrac34 =1 Longrightarrow (x-1)^264cdot34 +(z-2)^24cdot34 =1,
isto é,
(x-1)^248 +(z-2)^23 =1

Passo 4

Da forma
(x-1)^248+(z-2)^23=1
vemos que a elipse tem
bul<=t centro em l(1,5,2r) (o ponto (1,5,2) no plano y=5),
bul<=t semi-eixo maior a=raiz48=4raiz3 ao longo da direção x,
bul<=t semi-eixo menor b=raiz3 ao longo da direção z.

Passo 5

Para a elipse, os focos estão a distância
c=raiza^2-b^2 =raiz48-3 =raiz45 =3raiz5
do centro, ao longo do grande eixo x. Logo os focos são
F1=(1-3raiz5,5,2), F2=(1+3raiz5,5,2)
Os vértices maiores (extremos do grande eixo) valem
V1=(1-4raiz3,5,2), V2=(1+4raiz3,5,2),
e os vértices menores (extremos do pequeno eixo) são
W1=(1,5,2-raiz3), W2=(1,5,2+raiz3)

Passo 6

Elipse não possui assíntotas.
Os “raios” da elipse correspondem aos semi-eixos a=4raiz3 e b=raiz3.

Resposta

A interseção picap S é a elipse
(x-1)^248+(z-2)^23=1, y=5,
com centro (1,5,2), semi-eixos a=4raiz3, b=raiz3, focos em l(1pm3raiz5,5,2r), vértices em l(1pm4raiz3,5,2r) e l(1,5,2pmraiz3r), sem assíntotas.

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