Determine a interseção do plano
com a superfície quádrica
. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
.
Passo 1
O enunciado pede a interseção da superfície quádric-a
com o plano
Aqui
é um elipsoide de semi-eixos
(eixo
),
(eixo
) e
(eixo
). A interseção de um elipsoide com um plano não-tangent-eiro geralmente é uma elipse. Vamos achar sua equação e identificar centro, semi-eixos, focos, vértices e assíntotas.
Passo 2
Substituindo
na equação de
, obtemos
Ou seja,
Passo 3
Para pôr em forma canônica de elipse, dividimos ambos os lados por
:
isto é,
Passo 4
Da forma
vemos que a elipse tem
centro em
(o ponto
no plano
),
semi-eixo maior
ao longo da direção
,
semi-eixo menor
ao longo da direção
.
Passo 5
Para a elipse, os focos estão a distância
do centro, ao longo do grande eixo
. Logo os focos são
Os vértices maiores (extremos do grande eixo) valem
e os vértices menores (extremos do pequeno eixo) são
Passo 6
Elipse não possui assíntotas.
Os “raios” da elipse correspondem aos semi-eixos e
.
Os “raios” da elipse correspondem aos semi-eixos
Resposta
A interseção
é a elipse
com centro
, semi-eixos
,
, focos em
, vértices em
e
, sem assíntotas.