Determine a interseção do plano pi com a superfície quádrica S. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
S: x^2-4 y^2+5 z^2=1, pi: z+1raiz5=0.

Passo 1

O enunciado pede a interseção do plano picolon z + tfrac1raiz5=0 com a superfície quárdrica
Scolon x^2 - 4y^2 + 5z^2 = 1
O conteúdo é encontro de um plano com um quádriculo, que se faz substituindo a coordenada z do plano na equação de S.

Passo 2

Do plano pi temos
z = -1raiz5
Substituindo em S
x^2 - 4y^2 + 5l(-1raiz5r)^2 = 1

Passo 3

Como l(-tfrac1raiz5r)^2 = tfrac15, a equação torna-se
x^2 - 4y^2 + 5cdot15 = x^2 - 4y^2 + 1 = 1,
ou seja
x^2 - 4y^2 = 0

Passo 4

A equação x^2 - 4y^2 = 0 fatoriza-se como
(x - 2y)(x + 2y) = 0,
logo corresponde a duas retas no plano pi:
ell1colon x = 2y,;z = -1raiz5, ell2colon x = -2y,;z = -1raiz5

Passo 5

Essa conica é degenerada (duas retas que se cruzam). Seus elementos são:
bul<=t Centro: ponto de interseção das retas, (0,0,-tfrac1raiz5).
bul<=t Não há focos nem vértices (não é hipérbole propriamente dita, mas sua forma degenerada).
bul<=t Não há assíntotas nem raio.

Resposta

A interseção picap S é a união das retas
ell1colon (x,y,z) = (2t,;t,;-tfrac1raiz5), ell2colon (x,y,z) = (-2t,;t,;-tfrac1raiz5),
com centro em l(0,0,-tfrac1raiz5r) e sem focos, vértices, assíntotas ou raio.

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