Determine a interseção do plano pi com a superfície quádrica S. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
S: x^2+3 y^2 z=0, pi: z+9=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrutrica
S:;x^2+3y^2z=0
e o plano
pi:;z+9=0Longrightarrow z=-9
Precisamos achar a curva de interseção Scappi substituindo z=-9 em S e então identificar os elementos dessa curva (centro, focos, vértices, assíntotas, raio).

Passo 2

Substituindo z=-9 em x^2+3y^2z=0 obtemos
x^2+3y^2(-9)=0 Longrightarrow x^2-27y^2=0

Passo 3

A equação
x^2-27y^2=0
é uma forma degenerada de hipérbole no plano xy, pois fatoriza-se como
x^2-27y^2=(x-raiz27,y),(x+raiz27,y)=0,
isto é, duas retas que se cruzam na origem.

Passo 4

As duas retas de interseção, dentro do plano z=-9, são
L1:;x-raiz27,y=0, z=-9 e L2:;x+raiz27,y=0, z=-9

Passo 5

Como se trata de uma hipérbole degenerada:
– O centro é o ponto de interseção das retas, isto é (0,0,-9).
– Não há focos reais nem vértices distintos (a hipérbole “colapsou” nas próprias assíntotas).
– As assíntotas coincidem com as retas L1 e L2.
– Não há raio (não é uma elipse).

Resposta

A interseção Scappi é a reunião das retas
x-raiz27,y=0,;z=-9 e x+raiz27,y=0,;z=-9
Centro em (0,0,-9), hipérbole degenerada sem focos nem vértices e com assíntotas dadas por essas próprias retas.

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