Determine a interseção do plano
com a superfície quádrica
. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
.
Passo 1
O enunciado pede a curva obtida ao intersectar a superfície quádrica
com o plano
O conteúdo é interseção de quádricas. Vamos precisar substituir a equação do plano na de
e identificar o tipo de cônica resultante.
Passo 2
Do plano
temos imediatamente
Substituindo em
sai
Passo 3
A equação
é uma elipse no plano
. Colocando em forma canônica, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Da forma canônica
vemos que:
- Centro:
. - Semieixo menor
ao longo da direção . - Semieixo maior
ao longo da direção .
Passo 5
Para elipse com semieixos
e
, o foco satisfaz
logo
Assim:
- Vértices maiores (eixo
):
. - Vértices menores (eixo
):
. - Focos:
. - Assíntotas: como é elipse, não há.
Resposta
A interseção é a elipse definida por
com centro
, semieixos
(direção
) e
(direção
), vértices
e
, focos
e sem assíntotas.