Determine a interseção do plano pi com a superfície quádrica S. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
S: x^2+9 y^2+4 z^2=36, pi: x+2 raiz5=0.

Passo 1

O enunciado pede a curva obtida ao intersectar a superfície quádrica
S:;x^2+9y^2+4z^2=36
com o plano
pi:;x+2raiz5=0
O conteúdo é interseção de quádricas. Vamos precisar substituir a equação do plano na de S e identificar o tipo de cônica resultante.

Passo 2

Do plano pi temos imediatamente
x = -2raiz5
Substituindo em S sai
(-2raiz5)^2+9y^2+4z^2=36 ;Longrightarrow; 20+9y^2+4z^2=36 ;Longrightarrow; 9y^2+4z^2=16

Passo 3

A equação
9y^2+4z^2=16
é uma elipse no plano x=-2raiz5. Colocando em forma canônica, dividimos ambos os lados por 16:
y^216/9+z^24=1

Passo 4

Da forma canônica
y^2(4/3)^2+z^22^2=1
vemos que:
  • Centro: l(-2raiz5,0,0r).
  • Semieixo menor b=4/3 ao longo da direção y.
  • Semieixo maior a=2 ao longo da direção z.

Passo 5

Para elipse com semieixos a=2 e b=4/3, o foco satisfaz
c^2=a^2-b^2=4-tfrac169=tfrac209,
logo
c=2raiz53
Assim:
  • Vértices maiores (eixo z):
    l(-2raiz5,0,pm2r).
  • Vértices menores (eixo y):
    l(-2raiz5,pmtfrac43,0r).
  • Focos:
    l(-2raiz5,0,pmtfrac2raiz53r).
  • Assíntotas: como é elipse, não há.

Resposta

A interseção é a elipse definida por
9y^2+4z^2=16 em x=-2raiz5,
com centro l(-2raiz5,0,0r), semieixos b=4/3 (direção y) e a=2 (direção z), vértices l(-2raiz5,0,pm2r) e l(-2raiz5,pmtfrac43,0r), focos l(-2raiz5,0,pmtfrac2raiz53r) e sem assíntotas.

Exercícios relacionados