Determine a interseção do plano pi com a superfície quádrica S. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
S:-3 x^2-4 z^2+5 y^2=-43, pi: y=1.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre o plano picolon y=1 e a quádricas
Scolon -3x^2-4z^2+5y^2=-43
O conteúdo é interseção de superfícies e identificação de uma seção cônica (aqui deverá surgir uma elipse).

Passo 2

Substituímos y=1 em S. Assim
-3x^2-4z^2+5cdot(1)^2=-43
-3x^2-4z^2+5=-43
-3x^2-4z^2=-48

Passo 3

Multiplicando por -1 e dividindo por 48, obtemos
3x^2+4z^2=48 Longrightarrow x^216+z^212=1
Isso é a equação de uma elipse no plano y=1.

Passo 4

Em x^216+z^212=1, o centro está em (0,1,0). Os semi-eixos são
a=raiz16=4, b=raiz12=2raiz3
Os vértices (pontos de maior extensão) são
(pm4,,1,,0) e (0,,1,,pm2raiz3)

Passo 5

Como a>b, a distância focal é
c=raiza^2-b^2 =raiz16-12 =2
Os focos, no eixo maior (direção x), são
(pm2,,1,,0)

Resposta

A interseção é a elipse
x^216+z^212=1 no plano y=1,
com centro em (0,1,0), semi-eixo maior a=4, semi-eixo menor b=2raiz3, vértices (pm4,1,0) e (0,1,pm2raiz3), e focos em (pm2,1,0).

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